NT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 3 2018
https://diendantoanhoc.net/topic/167848-x2y2z2xyz4-max-xyz/
18 tháng 2 2018
\(A=\frac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{2\left(x+y\right)^2+4xy}{\left(x+y\right)^2}=\frac{2.2012^2+4xy}{2012^2}\)
\(\le\frac{2.2012^2+4.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{2012^2}=\frac{2.2012^2+2012^2}{2012^2}=\frac{3.2012^2}{2012^2}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1006\)
18 tháng 2 2018
anh hùng giải thích cho em cái chỗ \(\frac{4.\left(x+y\right)^2}{4}\) với
29 tháng 12 2019
\(Q=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy+2016=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{5}{4xy}+2016\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\). Dấu "=" khi a=b (bạn tự chứng minh)
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Vì x>0, y>0 nên xy>0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương
\(\frac{1}{4xy}+4xy\ge2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}=2\)
Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{5}{4xy}\ge5\)
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\\frac{1}{4xy}=4xy\\x=y\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow Q\ge4+2+5+2016=2027\)
Vậy \(minQ=2027\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
VT
1
27 tháng 11 2019
\(P=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+x+y\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{4xy}{2xy}=\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)
"=" xảy ra <=> x = y.
\(\)
HL
4
ML
13 tháng 8 2016
\(x^2+y^2\le x+y\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2\le-4y^2+4y+1\text{ (1)}\)
+Nếu \(-4y^2+4y+1< 0\) thì (1) có \(VT\ge0>VP\), (1) ko thỏa --> loại.
+Nếu \(-4y^2+4y+1=0\Leftrightarrow y=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\text{ }\left(do\text{ }y>0\right)\) thì\(\left(2x-1\right)^2\le0\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
\(A=x+3y=2+\frac{3}{\sqrt{2}}\approx4.12\)
+Xét \(-4y^2+4y+1>0\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{2}}{2}< y< \frac{1+\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow0< y< \frac{1+\sqrt{2}}{2}\approx1.207\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow-\sqrt{-4y^2+4y+1}\le2x-1\le\sqrt{-4y^2+4y+1}\)
\(\Rightarrow2x\le\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2}+1\)
\(2A=2x+6y\le\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2}+3\left(2y-1\right)+1+3\)
Áp dụng bđt Bu-nhia-cop-xki
\(1.\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2}+3.\left(2y-1\right)\le\sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2}=2\sqrt{5}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{1}{3^2}=\frac{2-\left(2y-1\right)^2}{\left(2y-1\right)^2}\Leftrightarrow\left(2y-1\right)^2=\frac{9}{5}\)
\(\Leftrightarrow2y-1=\pm\frac{3}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{3}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\approx1.17\in\left(0;\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)\\y=-\frac{3}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}< 0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2A\le4+2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow A\le2+\sqrt{5}\approx4.23\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=\frac{3}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\\x=\frac{1+\sqrt{2-\left(2y-1\right)^2}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\end{cases}}\)
T
2
AM-GM là ra thôi
đề bài cho x+y=2
vậy : \(\left(x+y\right)^2=4\) định lí Mori
\(P=x^2.y^2.\left\{\left(x+y\right)^2-2xy\right\}\)
mặt khác ta có
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
suy ra
\(P\le x^2y^2\left\{\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right\}\)
có x+y=2
\(\Rightarrow P\le x^2y^2\left(4-2\right)=2x^2y^2\)
ta lại có
\(2x^2y^2\le\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}=\frac{\left\{\left(x+y\right)^2-2xy\right\}^2}{2}\)
\(p\le\frac{\left(4-2xy\right)^2}{2}\)
có 2xy=2 ( cmr)
\(P\le\frac{\left(4-2\right)^2}{2}=2\)
vậy giá trị lớn nhất của P là 2 dấu = xảy ra khi x=y=1