Question

[Phải lòng chàng trai song tử]

Cho x>0,y>0 và x+y=1.Tìm gtnn của biểu thức 

Q= 1/x²+y² + 2/xy + 4xy +2016

Answer 1

[Phùng Gia Bảo]

\(Q=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy+2016=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{5}{4xy}+2016\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\). Dấu "=" khi a=b (bạn tự chứng minh)

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)

Vì x>0, y>0 nên xy>0

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương

\(\frac{1}{4xy}+4xy\ge2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}=2\)

Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{5}{4xy}\ge5\)

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\\frac{1}{4xy}=4xy\\x=y\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)

\(\Rightarrow Q\ge4+2+5+2016=2027\)

Vậy \(minQ=2027\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)