Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
\(P=(x+1)\left(1+\frac{1}{y}\right)+(y+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)\)
\(=2+x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\)
\(x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
\(y+\frac{1}{2y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT SVac-xơ kết hợp với Cô-si:
\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\geq \frac{4}{2x+2y}=\frac{2}{x+y}\geq \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Cộng các BĐT trên :
\(\Rightarrow P\geq 2+2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{\min}=4+3\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Svac-xơ:
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+a+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\geq \frac{4}{2b+4c+2a}=\frac{2}{b+2c+a}\)
\(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{c+a+2b}\geq \frac{4}{2c+4a+2b}=\frac{2}{c+2a+b}\)
Cộng theo vế và rút gọn :
\(\Rightarrow \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số dương , ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\x^2+z^2\ge2xz\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\ge\dfrac{9}{3+x^2+y^2+z^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
a: \(M=\dfrac{x+6\sqrt{x}-3\sqrt{x}+18-x}{x-36}\)
\(=\dfrac{3\left(\sqrt{x}+6\right)}{x-36}=\dfrac{3}{\sqrt{x}-6}\)
b: \(N=\dfrac{x^2}{y}\cdot\sqrt{xy\cdot\dfrac{y}{x}}-x^2\)
\(=\dfrac{x^2}{y}\cdot y-x^2=0\)
Cho x,y > 0. Tìm GTNN của:
a) x2 + y2 + \(\dfrac{1}{xy}\) với x + y = 2
b) x + y + \(\dfrac{1}{xy}\)
a ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :
\(x^2+y^2+\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{2^2}{4}}=2+1=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy ...
b ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :
\(x+y+\dfrac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{xy.\dfrac{1}{xy}}=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y=y^2x=1\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3=1\Leftrightarrow xy=1\left(x;y>0\right)\)
\(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy ...
1.
PT $\Leftrightarrow y^2+2xy+x^2=x^2+3x+2$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=(x+1)(x+2)$
Với $x\in\mathbb{Z}$ dễ thấy rằng $(x+1,x+2)=1$. Do đó để tích của chúng là scp thì $x+1,x+2$ cũng là những scp.
Đặt $x+1=a^2, x+2=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$
$\Rightarrow b^2-a^2=1\Leftrightarrow (b-a)(b+a)=1$
Với $a,b\in\mathbb{N}$ dễ thấy $b-a=b+a=1$
$\Rightarrow b=1; a=0$
$\Rightarrow x=-1$
$(x+y)^2=(x+1)(x+2)=0\Rightarrow y=-x=1$
Vậy $(x,y)=(-1,1)$
2.
Đặt $x-1=a$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,y>0$. CMR:
$\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}\geq 3(\frac{1-2a}{a}+\frac{a+1}{y})$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}+6\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{y}+\frac{3}{y}$
BĐT trên luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì:
$\frac{1}{a^3}+1+1\geq \frac{3}{a}$
$\frac{1}{y^3}+1+1\geq \frac{3}{y}$
$\frac{a^3}{y^3}+1+1\geq \frac{3a}{y}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=y=1$
$\Leftrightarrow x=2; y=1$
a)x2+y2=2 =>(x+y)2-2xy=2<=>-2xy=2-(x+y)2 <=> xy=\(-\dfrac{2-\left(x+y\right)2}{2}\)
mà \(-\dfrac{2-\left(x+y\right)2}{2}< 1\)
=>xy <1
\(a.x^2-2xy+6y^2-12x+2y+41\)
\(=x^2-2xy+y^2-12x+12y+36+5y^2-10y+5\)
\(=\left(x-y\right)^2-2.6\left(x-y\right)+36+5\left(y-1\right)^2\)
\(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2\) ≥ \(0\)
\(b.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{2x}{y}-\dfrac{2y}{x}+3\)
\(=\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1+\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1+1\)
\(=\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2+1>0\)
\(A=\dfrac{-2xy}{1+xy}=-2xy-2\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có :
\(2xy\le x^2+y^2\) = 1 Dấu "=" xảy ra
\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y^2\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ x;y>0 )
=> A\(\ge-1-2=-3\)
Dấu "=" xảy ra
\(\Leftrightarrow\)\(x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ x;y>0 )
Vậy GTNN của A=-3 \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)