Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\ge0\Rightarrow x+y\ge0\)
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\le\sqrt{2\left(x+y+12\right)}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x+y+12\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+4\right)\left(x+y-6\right)\le0\)
\(\Rightarrow x+y\le6\) (do \(x+y+4>0\))
\(P_{max}=6\) khi \(x=y=3\)
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge x+y+12\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-12\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+3\right)\left(x+y-4\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y-4\ge0\) (do \(x+y+3>0\))
\(\Rightarrow x+y\ge4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-6;10\right)\) và hoán vị
Ta có: x - \(\sqrt{x+6}\) = \(\sqrt{y+6}\) - y (x; y \(\ge\) -6)
\(\Leftrightarrow\) P = x + y = \(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Leftrightarrow\) P2 = x + y + 12 + 2\(\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số ko âm x + 6 và y + 6 ta có:
\(x+y+12\ge2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) P2 \(\le\) x + y + 12 + x + y + 12 = 2x + 2y + 24 = 2P + 24
\(\Leftrightarrow\) P2 - 2P - 24 \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) P2 - 36 + 12 - 2P \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) (P - 6)(P + 6) + 2(6 - P) \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) (P - 6)(P + 4) \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}P-6\ge0\\P+4\le0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}P-6\le0\\P+4\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}-4\ge P\ge6\left(KTM\right)\\6\ge P\ge-4\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) -4 \(\le\) P \(\le\) 6
Vậy ...
Chúc bn học tốt!
Bài 1 : ĐK : \(x>3\) ; \(y>5\) ; \(z>4\)
\(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-5}+\sqrt{z-4}=20-\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}-\dfrac{9}{\sqrt{y-5}}-\dfrac{25}{\sqrt{z-4}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}+\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}\right)+\left(\sqrt{y-5}+\dfrac{9}{\sqrt{y-5}}\right)+\left(\sqrt{z-4}+\dfrac{25}{\sqrt{z-4}}\right)=20\)
Theo BĐT Cô - Si cho hai số không âm ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}+\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}\ge2\sqrt{\dfrac{4\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-3}}}=2\sqrt{4}=4\\\sqrt{y-5}+\dfrac{9}{\sqrt{y-5}}\ge2\sqrt{\dfrac{9\sqrt{y-5}}{\sqrt{y-5}}}=2\sqrt{9}=6\\\sqrt{z-4}+\dfrac{25}{\sqrt{z-4}}\ge2\sqrt{\dfrac{25\sqrt{z-4}}{\sqrt{z-4}}}=2\sqrt{25}=10\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-3}+\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}\right)+\left(\sqrt{y-5}+\dfrac{9}{\sqrt{y-5}}\right)+\left(\sqrt{z-4}+\dfrac{25}{\sqrt{z-4}}\right)\ge20\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-3}+\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}\right)+\left(\sqrt{y-5}+\dfrac{9}{\sqrt{y-5}}\right)+\left(\sqrt{z-4}+\dfrac{25}{\sqrt{z-4}}\right)=20\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=\dfrac{4}{\sqrt{x-3}}\\\sqrt{y-5}=\dfrac{9}{\sqrt{y-5}}\\\sqrt{z-4}=\dfrac{25}{\sqrt{z-4}}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3=4\\y-5=9\\z-4=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=14\\z=29\end{matrix}\right.\left(TM\right)\)
Vậy \(x=7\) ; \(y=14\) ; \(z=29\)
Lời giải:
Ta có:
$A^2=x+4+6-x+2\sqrt{(x+4)(6-x)}=10+2\sqrt{(x+4)(6-x)}\geq 10$
$\Rightarrow A\geq \sqrt{10}$ (do $A\geq 0$)
Vậy $A_{\min}=\sqrt{10}$. Giá trị này đạt được khi $(x+4)(6-x)=0\Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=6$
----------------------
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
$A^2\leq (x+4+6-x)(1+1)=10.2=20$
$\Rightarrow A\leq \sqrt{20}$
Vậy $A_{\max}=\sqrt{20}$
2. Áp dụng bđt \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) :
\(B=\frac{x}{x+x+y+z}+\frac{y}{x+y+y+z}+\frac{z}{x+y+z+z}\) \(=x\cdot\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+y\cdot\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}+z\cdot\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\cdot x\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{4}y\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)+\frac{1}{4}z\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\Rightarrow B\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Theo đề bài, ta có:
x3+y3=x2−xy+y2x3+y3=x2−xy+y2
hay (x2−xy+y2)(x+y−1)=0(x2−xy+y2)(x+y−1)=0
⇒\orbr{x2−xy+y2=0x+y=1⇒\orbr{x2−xy+y2=0x+y=1
+ Với x2−xy+y2=0⇒x=y=0⇒P=52x2−xy+y2=0⇒x=y=0⇒P=52
+ với x+y=1⇒0≤x,y≤1⇒P≤1+√12+√0+2+√11+√0=4x+y=1⇒0≤x,y≤1⇒P≤1+12+0+2+11+0=4
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và P≥1+√02+√1+2+√01+√1=43P≥1+02+1+2+01+1=43
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1
Vậy max P=4 và min P =4/3
- Tìm giá trị lớn nhất :
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :
\(C^2=\left(1.\sqrt{x-4}+1.\sqrt{y-3}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-4+y-3\right)=16\)
\(\Rightarrow C^2\le16\Rightarrow C\le4\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x\ge4;y\ge3\\x+y=15\\\sqrt{x-4}=\sqrt{y-3}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}}\)
Vậy Max C = 4 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}}\)
- Tìm giá trị nhỏ nhất :
Xét : \(C^2=x-4+y-3+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}=8+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\)
Vì \(2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\ge0\) nên \(C^2\ge8\Rightarrow C\ge2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge4;y\ge3\\x+y=15\\\left(x-4\right)\left(y-3\right)=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=11\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=12\\y=3\end{cases}}\)
Vậy Min C = \(2\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x;y\right)=\left(4;11\right)\\\left(x;y\right)=\left(12;3\right)\end{cases}}\)
Ta có: \(A^2=\left(\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\right)^2\\ =x-4+y+3+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\\ =8+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\)
Theo bđt Cauchy, ta có \(2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\le x-4+y-3=8\Rightarrow A^2\le8+8=16\Rightarrow C\le4\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge4;y\ge3\\x+y=15\\x-4=y-3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=7\end{matrix}\right.\)
Vậy Amax=4 khi và chỉ khi x=8, y=7
Ta có: \(A^2=8+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\) vì \(2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\ge0\) nên \(A^2\ge8\Rightarrow A=2\sqrt{2}\)
Dấu'=' xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge4,y\ge3\\x+y=15\\\left(x-4\right)\left(y-3\right)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=11\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=12\\y=3\end{matrix}\right.\)
Vậy Amin= \(2\sqrt{2}\) khi và chỉ khi x=4, y=11 hoặc x=12, y=3