K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TM
1
14 tháng 5 2022
-Sửa đề: x,y,z>0. Tìm min của \(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
-Áp dụng BDDT Caushy-Schwarz ta có:
\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{9}{x+y+z}\ge\dfrac{9}{3}=3\)
\(A_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
30 tháng 6 2023
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
`B>=(1+2+3)^2/(x+y+z)=36/6=6`
Dấu "=" xảy ra `<=>(x;y;z)=(3/7;12/7;27/7)`
Vậy `B_(min)=6<=>(x;y;z)=(3/7;12/7;27/7)`
TP
0
2 tháng 3 2023
`P=x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)`
`=x^4/(x^2+xy)+y^4/(y^2+yz)+z^4/(z^2+zx)`
Ad bđt cosi-swart:
`P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)`
Mà `xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2)`
`=>P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2))=(x^2+y^2+z^2)/2=3/2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1`
`Q=(x^3+y^3)/(x+2y)+(y^3+z^3)/(y+2z)+(z^3+x^3)/(z+2x)`
`Q=(x^3/(x+2y)+y^3/(y+2z)+z^3/(z+2x))+(y^3/(x+2y)+z^3/(y+2z)+x^3/(z+2x))`
`Q=(x^4/(x^2+2xy)+y^4/(y^2+2yz)+z^4/(z^2+2zx))+(y^4/(xy+2y^2)+z^4/(yz+2z^4)+x^4/(xz+2x^2))`
Áp dụng BĐT cosi-swart ta có:
`Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)+(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx))`
Mà`xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2`
`=>Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))+(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2)^2)/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2))/3=2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1.`
PN
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 5 2022
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{4}\geq 1$
$\frac{1}{y+1}+\frac{y+1}{4}\geq 1$
$\frac{1}{1+z}+\frac{1+z}{4}\geq 1$
Cộng theo vế:
$A+\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3$
$\Rightarrow A\geq 3-\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$
15 tháng 5 2022
Dự đoán điểm rơi \(x=y=z=1\)
Khi đó \(\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\) và \(1+x=1+1=2\)
Ta cần ghép Cô-si \(\dfrac{1}{1+x}\) với \(k\left(1+x\right)\) sao cho đảm bảo đấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
Đồng thời khi Cô-si 2 số dương trên thì dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{1+x}=k\left(1+x\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}=k.2\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{4}\)
Như vậy, áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\dfrac{1}{1+x}\) và \(\dfrac{1+x}{4}\), ta có \(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1+x}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{1+x}.\dfrac{1+x}{4}}=1\)
Tương tự, ta có \(\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1+y}{4}\ge1\) và \(\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{1+z}{4}\ge1\)
Cộng vế theo vế của các BĐT vừa tìm được, ta có \(A+\dfrac{x+y+z+3}{4}\ge3\)\(\Leftrightarrow A\ge3-\dfrac{x+y+z+3}{4}\)
Lại có \(x+y+z\le3\) nên \(A\ge3-\dfrac{x+y+z+3}{4}\Leftrightarrow A\ge3-\dfrac{3+3}{4}=\dfrac{3}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
VT
4 tháng 10 2017
Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có
\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+3z+z+3x+x+3y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+x}{4}=\frac{3}{4}\)
M
4 tháng 10 2017
Đặt \(P=\frac{x^2}{y+3z}+\frac{y^2}{z+3x}+\frac{z^2}{x+3y}\)
Áp dụng bất đẳng thức Canchy Schwarz dạng Engel :
\(P=\frac{x^2}{y+3z}+\frac{y^2}{z+3x}+\frac{z^2}{x+3y}>\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+3y+z+3z+x+3x}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4x+4y+4z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4.\left(x+y+z\right)}=\frac{3^2}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi x=y=z=1.
MT
3
5 tháng 12 2017
Ta có:
\(xyz\ge x+y+z+2\ge2+3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)
AV
0
Tôi bổ sung đề bài : Cho x,y,z >0 và x+y+z=1 tìm min của x^2(y+z)/yz + y^2(x+z)/xz + z^2(x+y)/xy?
BĐT cô si: x²/z + z ≥ 2x và x²/y + y ≥ 2x => x²/z + x²/y + z+y ≥ 4x
=> x²(y+z)/yz + y+z ≥ 4x
tương tự: y²(x+z)/xz + x+z ≥ 4y
và z²(x+y)/xy + x+y ≥ 4z
cộng lại hết: x²(y+z)/yz + y²(x+z)/xz + z²(x+y)/xy + 2(x+y+z) ≥ 4(x+y+z)
=> x²(y+z)/yz + y²(x+z)/xz + z²(x+y)/xy ≥ 2(x+y+z) = 2
min = 2, đạt khi x = y = z = 1/3
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
Bổ sung chi vậy bn
Có; \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+xz+yz\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{3}{2}\)
Vậy Min A=3/2