Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3
\(M=\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{1}{\frac{x}{y}}\)
\(x\ge2y\Rightarrow\frac{x}{y}\ge2\)
\(\Rightarrow M\ge2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
GTNN của M là \(\frac{5}{2}\)khi \(a=2y\)
\(\frac{x}{y}>=2\)=>\(\frac{y}{x}=< \frac{1}{2}\)
\(M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-\frac{3y}{x}\)
ta có \(\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}>=4\)(cô si)(1)
\(-\frac{3y}{x}>=-\frac{3}{2}\)(2)
cộng 1 với 2=>M>=5/2
xảy ra dâu = khi x/y=2
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x}{2};\frac{8}{y}\) ta có:
\(\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\)
\(\Leftrightarrow2\ge4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow0< \sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow0< \frac{x}{y}\le\frac{1}{4}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(0< t\le\frac{1}{4}\right)\Rightarrow-t\ge\frac{-1}{4}\)
Ta có: \(K=t+\frac{2}{t}=32t+\frac{2}{t}-31t\ge2\sqrt{32t.\frac{2}{t}}-31t\ge16-\frac{31}{4}=\frac{33}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)
Vậy GTNN của K là \(\frac{33}{4}\) tại x=2;y=8
\(2\ge\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}\ge4\)
\(K=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{31y}{16x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{16x}}+\frac{31}{16}.4=\frac{33}{4}\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{8}\\\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=2\\\frac{x}{y}=\frac{y}{16x}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\).
sorry lam lon
M=(x^2+y^2/xy=x^2/xy+y^2/xy=x^2/4xy +x^2/4xy +x^2/4xy+x^2/4xy + 4y^2/4xy
Do x,y > 0 nên áp dụng cô si cho 5 số dương ta có :
M ≥ 5 . Căn 5 của (x^2/4xy . x^2/4xy .x^2/4xy.4y^2/4xy)=5.căn 5 của (x^3/256y^3) (*)
Mặt khác do x ≥ 2y =>x^3 ≥ 8y^3 nên từ (*) ta có :
M ≥ 5.can 5 cua (8y^3/256y^3)=5.can 5 cua (1/32)=5.1/2 =5/2
Dau " ≥ " khi
{x^2/4xy = 4y^2/4xy
{x^3=8y^3
=>x ≥ 2y
Vậy :x ≥ 2y
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
Cho x,y là các số dương thỏa mãn \(x+\frac{1}{y}\le1\) . Tìm GTNN của \(P=\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}\)
Đặt: \(\frac{1}{y}=t\)> 0
Ta có: \(x+t\le1\)
\(P=\frac{xt}{2}+\frac{1}{xt}=\frac{xt}{2}+\frac{1}{32xt}+\frac{31}{32xt}\ge2\sqrt{\frac{xt}{2}.\frac{1}{32xt}}+\frac{31}{\frac{32\left(x+t\right)^2}{4}}=\frac{33}{8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = t = 1/2 hay x = 1/2 và y = 2
Vậy GTNN của P = 33/8 đạt tại x =1/2 và y =2 .
\(x\ge2y\Rightarrow\frac{x}{y}\ge2\)
\(P=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{3x}{4y}+\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\ge\frac{3}{4}.2+2\sqrt{\frac{xy}{4xy}}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{5}{2}\) khi \(x=2y\)
@Nguyễn Việt Lâm ủng hộ cách khác
\(\frac{x^2+y^2}{xy}-\frac{5}{2}=\frac{2\left(x^2+y^2\right)-5xy}{2xy}\)
\(=\frac{x^2-4xy+4y^2+x^2-2y^2-xy}{2xy}\)
\(=\frac{\left(x-2y\right)^2+\left(x+y\right)\left(x-2y\right)}{2xy}\ge0\) (do \(x\ge2y\))
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{5}{2}."="\Leftrightarrow x=2y\)