Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi cạnh của tứ diện là a \(\Rightarrow\) tất cả các mặt bên đều là tam giác đều cạnh a
\(\Rightarrow CM=DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)
\(\Rightarrow cos\widehat{CMD}=\frac{CM^2+DM^2-CD^2}{2CM.DM}=\frac{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-a^2}{2.\frac{3a^2}{4}}=\frac{1}{3}\)
Đặt \(\overrightarrow{DA}=\)\(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}\) với \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=a\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=\frac{a^2}{2}\) như hình vẽ
Do M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\)
do đó \(\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)
Xét điểm \(N\in AC\), giả sử \(\overrightarrow{NA}=t.\overrightarrow{NC}\), \(t\ne1\). Khi đó \(\overrightarrow{DN}=\frac{\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{c}}{1-t}\)
Vậy \(DN\perp CM\Rightarrow\overrightarrow{DN}.\overrightarrow{CM}=0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\right)\left(\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{c}\right)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)
Từ đó , với \(N\in AC\) mà \(\overrightarrow{NC}=-2\overrightarrow{NA}\) thì \(DN\perp CM\) và khi đó
\(\overrightarrow{DN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\)
Giả sử UV là đoạn vuông góc chung của CM, DN với \(U\in CM,V\in DN\) và \(\overrightarrow{CU}=u\overrightarrow{CM}=\frac{u}{2}.\overrightarrow{a}+\frac{u}{2}.\overrightarrow{b}-u.\overrightarrow{c},\overrightarrow{DV}=v.\overrightarrow{DN}=\frac{2v}{3}.\overrightarrow{a}+\frac{v}{3}.\overrightarrow{c}\)
Từ đó suy ra
\(\overrightarrow{UV}=\overrightarrow{DV}-\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CU}\right)\)
\(=\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)\overrightarrow{a}-\frac{u}{2}\overrightarrow{b}+\left(\frac{v}{3}+u-1\right)\overrightarrow{c}\)
Điều kiện \(\overrightarrow{UV}.\overrightarrow{CM}=0\) tương đương với :
\(\frac{1}{2}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{u}{4}-\left(\frac{v}{3}+u-1\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)+\frac{u}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)=0\)
Từ đó ta thu được \(u=\frac{2}{3}\)
Điều kiện \(\overrightarrow{UV}.\overrightarrow{DN}=0\) tương đương với :
\(\frac{2}{3}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{u}{6}+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{u}{12}+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)=0\)
Từ đó ta thu được \(v=\frac{6}{7}\)
Khi đó, \(\overrightarrow{UV}=\frac{5}{21}\overrightarrow{a}-\frac{7}{21}\overrightarrow{b}-\frac{1}{21}\overrightarrow{c}=\frac{1}{21}\left(5\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\)
Suy ra \(d\left(CM,DN\right)=UV=\sqrt{\left|\overrightarrow{UV}\right|^2}=\frac{a\sqrt{42}}{21}\)
THAM KHẢO:
Tam giác ACD đều cạnh a có AK là trung tuyến nên AK=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)a
Gọi I là trung điểm của BD
Tam giác ABD đều cạnh a có AI là trung tuyến nên AI=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)a
Tam giác BCD có IK là đường trung bình nên IK//BC, IK=\(\dfrac{1}{2}\)BC=\(\dfrac{1}{2}\)a
Ta có: cos\(\widehat{AKI}\)=\(\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
Nên \(\widehat{AKI}\)=\(73,2^0\)
Vì BC//IK nên góc giữa AK và BC là góc giữa AK và KI và bằng \(73,2^0\)
Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm AC, AD, BD thì dễ dàng chứng minh hình thoi MNPQ là thiết diện (việc chứng minh thiết diện là hình thoi cũng vô cùng dễ dàng, 4 cái đường trung bình)
Mặt khác tứ diện đều nên các cặp cạnh đối vuông góc
\(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp CD\\AB||MN\\CD||NP\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MN\perp NP\)
\(\Rightarrow\) Thiết diện là hình vuông cạnh \(\dfrac{a}{2}\)
