Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì 3 ≤ x ≤ 7 => x - 3 ≥ 0; 7 - x ≥ 0
=> C ≥ 0
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 7
C = (x - 3)(7 - x) ≤ \(\dfrac{1}{4}\)(x - 3 + 7 - x)2 = \(\dfrac{1}{4}\).42 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x - 3 = 7 - x <=> x = 5
\(G=\left(x^2+\sqrt[3]{3}\right)+\left(\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\ge2\sqrt{x^2.\sqrt[3]{3}}+3\sqrt[3]{\dfrac{2}{x^3}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}=2\sqrt[6]{3}.x+\dfrac{6}{\sqrt[3]{3}x}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\ge2\sqrt{2\sqrt[6]{3}.x.\dfrac{6}{\sqrt[3]{3}x}}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\dfrac{12\sqrt[6]{3}}{\sqrt[3]{3}}}-\sqrt[3]{3}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=\sqrt[6]{3}\)
a: ĐKXĐ: \(\left(2x^2-5x+2\right)\left(x^3+1\right)< >0\)
=>(2x-1)(x-2)(x+1)<>0
hay \(x\notin\left\{\dfrac{1}{2};2;-1\right\}\)
b: ĐKXĐ: x+5<>0
=>x<>-5
c: ĐKXĐ: x4-1<>0
hay \(x\notin\left\{1;-1\right\}\)
d: ĐKXĐ: \(x^4+2x^2-3< >0\)
=>\(x\notin\left\{1;-1\right\}\)
e: =>-3<5x-12<3
=>9<5x<15
=>9/5<x<3
f: =>3x+15>=3 hoặc 3x+15<=-3
=>3x>=-12 hoặc 3x<=-18
=>x<=-6 hoặc x>=-4
b: =>(2x-7)(x-5)<=0
=>7/2<=x<=5
3.
\(\dfrac{2a^2}{b^2}+2\dfrac{b^2}{c^2}+2\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
áp dụng bất đẳng thức cosi
+ \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\dfrac{a}{c}\)
......
tương tự với 2 cái sau
\(f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-mx+m=x\left(x-1\right)^2-m\left(x-1\right)\)
\(f\left(x\right)\ge\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x\left(x-1\right)^2-m\left(x-1\right)\ge\dfrac{1}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)^2-mx\left(x-1\right)-1\ge0\) (1) (do \(x\ge2>0\))
Đặt \(x\left(x-1\right)=t\), do \(x\ge2\Rightarrow t\ge2\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2-mt-1\ge0\) \(\forall t\ge2\) (2)
Gọi \(t_1;t_2\) là 2 nghiệm của pt \(g\left(t\right)=t^2-mt-1=0\) (\(a.c=-1< 0\) nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt), (2) xảy ra khi và chỉ khi \(t_1< t_2\le2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.g\left(2\right)=1.g\left(2\right)\ge0\\\dfrac{S}{2}-2=\dfrac{m}{2}-2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-2m\ge0\\m-4< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le\dfrac{3}{2}\)
a) Xét f(u) = \(\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}-uv,u\ge0\)
( Xem v > 0 vì v = 0 : BĐT luôn đúng )
f '(u) = up-1 - v = 0 \(\Leftrightarrow\) up-1 = v \(\Leftrightarrow\) u = \(v^{\dfrac{q}{p}}\)
Vẽ bảng biến thiên ( tự vẽ )
Vậy \(uv\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\)
b)* Nếu \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx=0\) hay \(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx=0\)thì \(f\equiv0\)hay \(g\equiv0\) BĐT luôn đúng
Xét \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx>0\) và \(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx>0\)
Áp dụng BĐT câu (a) :
Với \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{\left|f\left(x\right)\right|}{\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx\right)^{\dfrac{1}{p}}}>0\\v=\dfrac{\left|g\left(x\right)\right|}{\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx\right)^{\dfrac{1}{q}}}>0\end{matrix}\right.\)
\(uv\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\left(1\right)\)
Lấy tích phân từ a \(\rightarrow\) b 2 vế BĐT (1) ta được :
\(\int\limits^b_auvdx\le\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\)
Vậy : \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right).g\left(x\right)\right|dx\le\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)^p\right|dx\right)^{\dfrac{1}{p}}\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)^q\right|dx\right)^{\dfrac{1}{q}}\)
\(\Rightarrow\)(Đpcm )
\(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot2\cdot m=25-8m\)
\(f\left(x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Delta\le0\)
\(\Leftrightarrow25-8m\le0\)
\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{25}{8}\)
C