Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ABCOMNHE
a) Do M, N thuộc đường tròn đường kính BC nên \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^o\Rightarrow BN\perp AC;CM\perp AB\)
Xét tam giác ABC có BN và CM là hai đường cao nên H là trực tâm, vậy thì AH cũng là đường cao của tam giác hay \(AH\perp BC\)
b) Do AMH và ANH là các tam giác vuông có chung cạnh huyền AH nên AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròng tâm E, bán kính EH. Vậy thì \(\widehat{MHE}=\widehat{MNA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Lại có EM = EH nên \(\widehat{MHE}=\widehat{HME}\)
Vậy nên \(\widehat{HME}=\widehat{MNA}\) (1)
Lại có do OM = OC nên \(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\) mà \(\widehat{OCM}=\widehat{BNM}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
Vậy nên \(\widehat{OMC}=\widehat{BNM}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{HME}+\widehat{OMC}=\widehat{MNA}+\widehat{MNB}\Rightarrow\widehat{EMO}=\widehat{ANH}=90^o\)
Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Xét tam giác MEO và NEO có: Cạnh EO chung, EM = EN, OM = ON
\(\Rightarrow\Delta MEO=\Delta NEO\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow S_{MEO}=S_{NEO}\Rightarrow S_{MEO}=\frac{1}{2}S_{MENO}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}ME.MO=\frac{1}{4}.MN.EO\Rightarrow MN.OE=2ME.MO\)
c) Do tứ giác AMHN nội tiếp nên \(\widehat{MAH}=\widehat{MNH}\)
Mà \(\widehat{MCB}=\widehat{MNH}\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{MCB}\)
Vậy thì \(\Delta AMH\sim\Delta CMB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CM}{AM}=\frac{CB}{AH}=1\)
Lại có xét tam giác vuông AMC, \(tan\widehat{BAC}=\frac{MC}{AM}=1.\)
A B C D E K M I H F
a) Ta thấy ngay do BD, CE là đường cao nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\)
Xét tứ giác AEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) nên AEDC là tứ giác nội tiếp hay A, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.
Đường tròn cần tìm là đường tròn đường kính BC, tức là tâm đường tròn là trung điểm J của BC, bán kính là JB.
b) Xét tam giác BEC và tam giác BHM có :
\(\widehat{BEC}=\widehat{BHM}=90^o\)
Góc B chung
\(\Rightarrow\Delta BEC\sim\Delta BHM\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{BE}{BH}=\frac{BC}{BM}\Rightarrow BC.BH=BE.BM\)
Ta có \(BK^2=BD^2=BH.BC=BE.EM\) mà \(KE\perp BM\Rightarrow\widehat{BKM}=90^o\)
Vậy MK là tiếp tuyến của đường tròn tâm B.
c)
Gọi F là giao điểm của CE với đường tròn tâm B.
Do \(BE\perp KF\)nên MB là trung trực của FK.
\(\Rightarrow\widehat{MFB}=\widehat{MKB}=90^o\Rightarrow\)tứ giác MFBH nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{MHF}=\widehat{MBF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF)
Ta cũng có MKHB nội tiếp nên \(\widehat{MHK}=\widehat{MBK}\)
Mà \(\widehat{MBF}=\widehat{MBK}\) nên HI là phân giác góc KHF.
Áp dụng tính chất tia phân giác ta có : \(\frac{IK}{IF}=\frac{HK}{HF}\)
Ta có \(HC\perp HI\) nên HC là tia phân giác ngoài của góc KHF.
\(\Rightarrow\frac{CK}{CF}=\frac{HK}{HF}\)
Vậy nên \(\frac{CK}{CF}=\frac{IK}{IF}\)
\(\Rightarrow\frac{CK}{CF+KF}=\frac{IK}{IF+IK}\Rightarrow\frac{CK}{\left(CE+EF\right)+\left(CE-KE\right)}=\frac{IK}{FK}\)
\(\Rightarrow\frac{CK}{2CE}=\frac{IK}{2EK}\Rightarrow CK.EK=CE.IK\)
a) Xét (O) có
ΔAEC nội tiếp đường tròn(A,E,C cùng thuộc (O))
AC là đường kính của (O)(gt)
Do đó: ΔAEC vuông tại E(Định lí)
\(\Rightarrow\)AE\(\perp\)EC tại E
\(\Rightarrow\)AE\(\perp\)BE tại E
hay \(\widehat{AEB}=90^0\)
Xét ΔAEB có \(\widehat{AEB}=90^0\)(cmt)
nên ΔAEB vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)
Xét ΔAEB vuông tại E có \(\widehat{ABE}=45^0\)(gt)
nên ΔAEB vuông cân tại E(Định lí tam giác vuông cân)
\(\Rightarrow\)AE=EB(hai cạnh bên của ΔAEB vuông cân tại E)
b)
Ta có: EA\(\perp\)EB(cmt)
nên \(EA\perp EH\) tại E
Xét ΔEHB có \(EA\perp EH\) tại E(cmt)
nên ΔEHB vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)
Ta có: ΔEHB vuông tại E(cmt)
mà EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BH(I là trung điểm của BH)
nên \(EI=\dfrac{BH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(IH=BI=\dfrac{BH}{2}\)(I là trung điểm của BH)
nên EI=IH=IB
Ta có: IH=IE(cmt)
nên I nằm trên đường trung trực của HE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)
hay đường trung trực của HE đi qua trung điểm I của BH(đpcm)
c) Ta có: \(AE\perp EC\) tại E(cmt)
nên \(AE\perp BC\) tại E
Xét (O) có
ΔADC nội tiếp đường tròn(A,D,C cùng thuộc đường tròn(O))
AC là đường kính của (O)(gt)
Do đó: ΔADC vuông tại D(Định lí)
\(\Rightarrow CD\perp AD\) tại D
hay \(CD\perp BA\) tại D
Xét ΔBAC có
AE là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)
CD là đường cao ứng với cạnh BA(cmt)
AE cắt CD tại H(gt)
Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Tính chất ba đường cao của tam giác)
\(\Rightarrow\)BH là đường cao ứng với cạnh AC
hay \(BH\perp AC\)(đpcm)
bạn ơi phần "Do đó: ΔAEC vuông tại E(Định lí)" ở câu a là định lí nào vậy?