Question

[Hoàng Nguyên Thảo]

Cho tam giác ABC vuông tại C , có góc A = 60 độ, tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E, kẻ EK  vuông góc với AB,kẻ BD vuông góc với AE.Chứng minh:

a) AK=KB

b) AD=BC

c)3 đường thẳng AC,BD,KE cùng đi qua 1 điểm

Answer 1

[Trí Tiên亗]

A) XÉT \(\Delta ACE\)VÀ \(\Delta AKE\)CÓ 

\(\widehat{ACE}=\widehat{AKE}=90^o\)

AE LÀ CẠNH CHUNG

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(GT)

=> \(\Delta ACE\)=\(\Delta AKE\)(CH-GN)

\(\Rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{KEA}\)( HAI GÓC TƯƠNG ỨNG )

TA CÓ AE LÀ PHÂN GIÁC CỦA \(\widehat{CAB}\)

\(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{EAK}=\frac{60^o}{2}=30^o\)

XÉT \(\Delta CAE\)CÓ \(\widehat{CAE}+\widehat{CEA}+\widehat{ACE}=180^o\left(ĐL\right)\)

thay  \(30^o+\widehat{CEA}+90^o=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CEA}=180^o-90^o-30^o=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{KEA}=60^o\)

mà \(\widehat{CEA}+\widehat{KEA}+\widehat{KEB}=180^o\)( góc bẹt )

thay \(60^o+60^o+\widehat{KEB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{KEB}=180^o-\left(60^o+60^o\right)=60^o\)

XÉT \(\Delta AKE\)VÀ \(\Delta BKE\)CÓ 

\(\widehat{KEA}=\widehat{KEB}=60^o\)

EK LÀ CẠNH CHUNG

\(\widehat{EKA}=\widehat{EKB}=90^o\)

=>\(\Delta AKE\)=\(\Delta BKE\)(g-c-g)

\(\Rightarrow AK=KB\left(ĐPCM\right)\)

B) TA CÓ \(\Delta AKE\)=\(\Delta BKE\)

=> AE=BE( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG )

XÉT \(\Delta ACE\)VÀ \(\Delta BDE\)CÓ

\(\widehat{ACE}=\widehat{BDE}=90^o\)

\(AE=BE\left(CMT\right)\)

\(\widehat{CEA}=\widehat{DEB}\left(Đ^2\right)\)

=>\(\Delta ACE\)=\(\Delta BDE\)(CH-GN)

\(\Rightarrow CE=DE\)( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG )

TA CÓ

 \(AE+DE=AD\)

\(BE+CE=BC\)

MÀ \(DE=CE\left(CMT\right);AE=BE\left(CMT\right)\)

\(\Rightarrow AD=BC\)

HƠI DÀI TỚ LÀM CÂU C TIẾP TRANG KHÁC NHA

Answer 2

[Trí Tiên亗]

C)GIẢ SỬ GỌI O LÀ GIAO ĐIỂM CỦA AC,BD,KE

VÌ \(\Delta ACE=\Delta BDE\left(CMT\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{DBE}\)(HAI GÓC TƯƠNG ỨNG )

VÌ  \(\Delta AEK=\Delta BEK\left(CMT\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EAK}=\widehat{EBK}\)( HAI GÓC TƯƠNG ỨNG)

TA CÓ

 \(\widehat{CAE}+\widehat{EAK}=\widehat{CAK}\)

\(\widehat{DBE}+\widehat{EBK}=\widehat{DBK}\)

MÀ \(\widehat{CAE}=\widehat{DBE}\)(CMT)\(;\widehat{EAK}=\widehat{EBK}\left(CMT\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{DBK}\)HAY \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)

\(\Rightarrow\Delta OAB\)CÂN TẠI O

MÀ CO LÀ TIA ĐỔI CỦA  CA

      OE LÀ TIA ĐỔI CỦA  EK

      OD LÀ TIA ĐỔI CỦA  DB

=> BA ĐƯỜNG THẲNG AC,BD,KE CÙNG ĐI QUA TẠI MỘT ĐIỂM