Question

[Phạm Anh Tú]

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E. Gọi K là điểm đối xứng với M qua E.

a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

b) Tính diện tích tứ giác ADME, biết AB=6cm, AC=8cm.

c) Chứng minh tứ giác AMCK là hình thoi.

d) Để tứ giác AMCK là hình vuông thì tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì?

Answer 1

[Nguyễn Thị Mát]

a ) Ta có : \(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^o\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow ADME\) là hình chữ nhật ( tứ giác có ba góc vuông )

b ) Ta có : ME là đường trung bình của tam giác ABC 

\(\Rightarrow ME//AB\) và \(ME=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AD=ME=3\left(cm\right)\)( cạnh đối hình chữ nhật )
Lại có : \(\hept{\begin{cases}ME//AB\left(cmt\right)\\MB=MC\left(gt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AE=CE=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\left(cm\right)\)

ADME : hình chữ nhật 

\(\Rightarrow A_{ADME}=AD.AE=3.4=12\left(cm^2\right)\)

c ) Dễ thấy AC là đường trung trực của MK

\(\Rightarrow AM=AK\)và \(CM=CK\)

Mà AM = CM \(\left(=\frac{1}{2}BC\right)\) ( \(\Delta ABC\) vuông tại A )

\(\Rightarrow AM=AK=CM=CK\)

\(\Rightarrow AMCK\)là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau )

d ) Ta có : \(ME=\frac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow AB=2ME=MK\)

Hình thoi AMCK là hình vuông \(\Leftrightarrow AC=MK\)

\(\Leftrightarrow AC=AB\) ( vì AB = MK )

\(\Leftrightarrow\Delta ABC\)cân tại A

Mà \(\Delta ABC\) vuông tại A (gt)
Vậy \(\Delta ABC\)vuông cân tại A thì hình thoi AMCK là hình vuông