Câu hỏi của Trần Ngọc Tú

Question

cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AH . gọi I và K lần lượt là hình chiếu củ điểm H trên AB và AC .

a) CM :$HI\perp HK$

b) CM : IA = HK

c) CM : IK = AH

...

Cô Hoàng Huyền · Accepted Answer

a) Xét tứ giác AIHK có $\widehat{AIH}+\widehat{IAK}+\widehat{AKH}=270^o\Rightarrow\widehat{IHK}=90^o$

Vậy nên $HI\perp HK$

b) Do IA và HK cùng vuông góc với AC nên IA // HK

Vậy thì $\widehat{IAH}=\widehat{KHA}$ (So le trong)

Xét tam giác IAH và tam giác KHA có:

$\widehat{AIH}=\widehat{HKA}=90^o$

Cạnh AH chung

$\widehat{IAH}=\widehat{KHA}$

$\Rightarrow\Delta AIH=\Delta HKA$ (Cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow IA=HK.$

c) Xét tam giác IAH và tam giác HKI có:

$\widehat{AIH}=\widehat{KHI}=90^o$

Cạnh IH chung

$IA=HK$

$\Rightarrow\Delta AIH=\Delta KHI$ (Hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AH=IK.$

d) Ta thấy ngay các cặp góc so le trong bằng nhau nên $\Delta IOA=\Delta KOH\left(g-c-g\right)\Rightarrow OI=OK,OA=OH$

Xét tam giác vuông IAH có IO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OH = OA = OI.

Vậy nên OA = OI = OH = OK.

e)

1. Nếu tam giác ABC cân thì AH là đường cao đồng thời trung tuyến. Vậy thì AH = BH = CH.

Xét tam giác cân BHA có HI là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy nên I là trung điểm AB.

Hoàn toàn tương tự ta có K là trung điểm AC.

2. Tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{ACB}=45^o$

IA = AB/2; AK = AC/2 mà AB = AC nên AI = AK.

Vậy thì tam giác IAK cũng vuông cân tại A.

Vậy nên $\widehat{AKI}=45^o$

Từ đó ta có $\widehat{AKI}=\widehat{ACB}=45^o$

Chúng lại ở vị trí đồng vị nên suy ra IK // BC.

f) Ta có AM = MC nên $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

Lại có $\widehat{MCA}=\widehat{AHK}$ (Cùng phụ với góc $\widehat{KHC}$ )

Suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{AHK}$

Lại có $\widehat{OKA}=\widehat{OHA}$

Vậy nên $\widehat{MAK}+\widehat{OKA}=\widehat{AHK}+\widehat{IHA}=90^o$

Gọi J là giao điểm của AM và IK thì $\widehat{AJK}=90^o$ hay $KI\perp AM$

Câu trả lời: