Question

[tuan le]

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là 1 điểm thuộc cạnh BC, qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt đường thẳng vuông góc với BC tại B và C lần lượt tại E và F

a) cmr: BE.AC=AB.CD

b) cmr : 1/AD^2=1/ED^2+1/FD^2

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có: ^DAC + ^BAD = 90⁰; ^BAD + ^EAB = 90⁰ => ^DAC=^EAB

^ACD + ^ABC = 90⁰; ^ABE + ^ABC = 90⁰ => ^ACD=^ABE

Xét \(\Delta\)ADC và \(\Delta\)AEB: ^DAC=^EAB; ^ACD=^ABE => \(\Delta\)ADC ~ \(\Delta\)AEB (g.g)

=> \(\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{BE}\)=> \(BE.AC=AB.CD\)(đpcm).

b) Chứng minh tương tự câu a: \(\Delta\)ADB ~ \(\Delta\)AFC (g.g) => \(\frac{BD}{CF}=\frac{AB}{AC}\)

Lại có: \(\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}\) \(\Rightarrow\frac{BD}{CF}=\frac{BE}{CD}\)

Xét \(\Delta\)EBD và \(\Delta\)DCF: \(\frac{BD}{CF}=\frac{BE}{CD};\)^EBD=^DCF=90⁰ => \(\Delta\)EBD ~ \(\Delta\)DCF (c.g.c)

=> ^BED=^CDF. Mà ^BED + ^BDE = 90⁰ => ^CDF+^BDE=90⁰ => ^EDF=90⁰

=> \(\Delta\)DAF ~ \(\Delta\)EAD => \(\frac{AD}{AE}=\frac{DF}{DE}\Rightarrow\frac{AD}{DF}=\frac{AE}{DE}\Rightarrow\frac{AD^2}{DF^2}=\frac{AE^2}{DE^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AD^2}{DF^2}+\frac{AD^2}{DE^2}=\frac{AE^2}{DE^2}+\frac{AD^2}{DE^2}=\frac{AE^2+AD^2}{DE^2}=\frac{DE^2}{DE^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{DF^2}+\frac{1}{DE^2}=\frac{1}{AD^2}\)(đpcm).