Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AB=a. Gọi M,N,D lần lượt là trung điểm của AB,BC,AC. a) chứng minh ND là đườ...

D

dangkhoa0910

3 tháng 12 2018 - olm

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= a. Gọi M, N, D lần lượt là trung điểm của AB, BC,AC.
a) Chứng minh ND là đường trung bình của tam giác ABC và tính độ dài của ND theo a.
b) Chứng minh tứ giác ADNM là hình chữ nhật.
c) Gọi Q là điểm đối xứng của N qua M. Chứng minh AQBN là hình thoi.
d) Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK= DB. Chứng minh 3 điểm Q, A, K thẳng hàng.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

DQ

Đinh Quang Hà

26 tháng 12 2024

Lời giải chi tiết bài toán:

Đề bài:

Cho tam giác $ABCABC$ vuông tại $AA$ , có $AB=aAB = a$ . Gọi $M,N,DM, N, D$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,ACAB, BC, AC$ .

Chứng minh $NDND$ là đường trung bình của tam giác $ABCABC$ và tính độ dài của $NDND$ theo $aa$ .
Chứng minh tứ giác $ADNMADNM$ là hình chữ nhật.
Gọi $QQ$ là điểm đối xứng của $NN$ qua $MM$ . Chứng minh $AQBNAQBN$ là hình thoi.
Trên tia đối của tia $DBDB$ lấy điểm $KK$ sao cho $DK=DBDK = DB$ . Chứng minh 3 điểm $Q,A,KQ, A, K$ thẳng hàng.

Bài giải: 1. Chứng minh $NDND$ là đường trung bình của tam giác $ABCABC$ và tính độ dài $NDND$ :

Vì $NN$ là trung điểm của $BCBC$ và $DD$ là trung điểm của $ACAC$ , theo định nghĩa đường trung bình:
$NDND$ song song với $ABAB$ và $ND=12ABND = \frac{1}{2}AB$ .
Do $AB=aAB = a$ , suy ra $ND=12aND = \frac{1}{2}a$ .

Kết luận: $NDND$ là đường trung bình của tam giác $ABCABC$ , và $ND=12aND = \frac{1}{2}a$ .

2. Chứng minh tứ giác $ADNMADNM$ là hình chữ nhật:

$MM$ là trung điểm của $ABAB$ , nên $AM=MB=12AB=12aAM = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a$ .
$ND∥ABND \parallel AB$ và $ND=12ABND = \frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình).
$AM⊥ABAM \perp AB$ (tam giác vuông tại $AA$ ), nên $AM⊥NDAM \perp ND$ .
Tứ giác $ADNMADNM$ có:
- $AD∥MNAD \parallel MN$ (vì cùng vuông góc với $ABAB$ ).
- $AM⊥NDAM \perp ND$ .

Do đó, $ADNMADNM$ là hình chữ nhật.

3. Chứng minh $AQBNAQBN$ là hình thoi:

$QQ$ là điểm đối xứng của $NN$ qua $MM$ , nên $MQ=MNMQ = MN$ .
Vì $MM$ là trung điểm của $ABAB$ , suy ra $AQ=BN=AB=aAQ = BN = AB = a$ .
Trong hình chữ nhật $ADNMADNM$ :
- $AM=ND=12aAM = ND = \frac{1}{2}a$ , và $MM$ là trung điểm của $ABAB$ .
Tứ giác $AQBNAQBN$ có:
- $AQ=BNAQ = BN$ .
- $AB=QN=aAB = QN = a$ .

Vậy $AQBNAQBN$ là hình thoi.

4. Chứng minh 3 điểm $Q,A,KQ, A, K$ thẳng hàng:

Trên tia đối của tia $DBDB$ , lấy điểm $KK$ sao cho $DK=DBDK = DB$ .
$QQ$ đối xứng với $NN$ qua $MM$ , nên $MQ=MNMQ = MN$ .
Trong tam giác vuông $ABCABC$ , $DD$ và $MM$ lần lượt là trung điểm của $ACAC$ và $ABAB$ :
- $DB=AC2+AB22=a2+AC22DB = \frac{\sqrt{AC^2 + AB^2}}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + AC^2}}{2}$ .
- $DK=DBDK = DB$ , nên $KK$ nằm trên đường thẳng qua $DD$ kéo dài.
Vì $AQBNAQBN$ là hình thoi, nên $AQAQ$ song song với $DBDB$ . Kết hợp với vị trí của $KK$ , suy ra $Q,A,KQ, A, K$ thẳng hàng.

Kết luận:

$NDND$ là đường trung bình của tam giác $ABCABC$ , $ND=12aND = \frac{1}{2}a$ .
$ADNMADNM$ là hình chữ nhật.
$AQBNAQBN$ là hình thoi.
Ba điểm $Q,A,KQ, A, K$ thẳng hàng.

Đúng(0)

NM

Nguyễn Mai Anh

30 tháng 7 2018 - olm

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi M là trung điểm của BC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua M.a. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhậtb. Gọi H là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng của M qua H. Chứng minh tứ giác ACMN là hình bình hànhc. Chứng minh tứ giác AMBN là hình thoid. Vẽ DK vuông góc với BC tại K. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BK, AC. Đường thẳng vuông góc với DI...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

SE

Steve Ender RB

22 tháng 2 2020

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AB = a. Gọi M, N, D lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. a) Chứng minh ND là đường trung bình của tam giác ABC và tính độ dài ND theo a. b) Chứng minh tứ giác ADNM là hình chữ nhật. c) Gọi Q là điểm đối xứng của N qua M. Chứng minh AQBN là hình thoi. d) Trên tia đối của tia BD lấy điểm K sao cho DK = KB. Chứng minh ba điểm Q, A, K thẳng hàng. ...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

LT

Lê Thu Thủy

14 tháng 7 2018 - olm

Mọi người ơi giúp mình bài này với ạ. Thankssss Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi O là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua O.a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = HA. Chứng minh tam giác AED vuông và tam giác BEC vuông.c) Gọi M, N lần lượt là hình chiều của E lên BD và CD, EM cắt AD tại K. Chứng minh DE = DK.d)...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

PV

phạm văn trường

18 tháng 12 2015 - olm

cấp cứu mấy bn ơi Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), O là trung điểm của BC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O.a) Chứng minh: tứ giác ABDC là hình chữ nhật.b) Trên đoạn thẳng OB lấy điểm M, gọi N là điểm đối xứng của A qua M.Chứng minh: MO = ½ NDc) Kẻ NH ⊥ BD, NK ⊥ tia CD (H ∈ BD, K ∈ tia CD). Chứng minh: MH // AD.d) Chứng minh: ba điểm M, H, K thẳng...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

NT

nguyễn thùy linh

29 tháng 3 2020 - olm

Bài toán 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi O là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua O. a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE - HA. Chứng minh tam giác AED vuông và tam giác BEC vuông. c) Gọi M, N lần lượt là hình chiều của E lên BD và CD, EM cắt AD tại K. Chứng minh DE = DK.

giúp mk vs ạ !

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

PM

Phạm Minh Phương

29 tháng 3 2020

TÌM MỘT SỐ CÓ BÔN CHỮ SỐ,BIẾT CHỮ SỐ HÀNG TRĂM GẤP ĐÔI CHỮ SỐ HÀNG NGHÌN,CHỮ SỐ HÀNG CHỤC GẤP ĐÔI CHỮ SỐ HÀNG TRĂM, CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ LỚN HƠN CHỮ SỐ HÀNG CHỤC LÀ 3.

Đúng(1)

BT

Bùi Thị Thảo

3 tháng 2 2019 - olm

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ I,K lần lượt là trung điểm của AB,BC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua K.a. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.b. Gọi E là điểm đối xứng của K qua I. Chứng minh tứ giác AKBE là hình thoi.c. Chứng minh tứ giác AEKC là hình bình hành.d. Tìm điều kiện để hình thoi AKBE là hình vuông.Bài 2: Cho tam gaics ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi D...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

B

♥✪BCS★Tuyết❀ ♥

3 tháng 2 2019

a)Ta có

BK=KC (GT)

AK=KD( Đối xứng)

suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)

mà góc A = 90 độ (2)

từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) ta có

BI=IA

EI=IK

suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)

ta lại có

BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)

mà BK=KC

AK=KD

suy ra BK=AK (2)

Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi

c) ta có

BI=IA

BK=KC

suy ra IK là đường trung bình

suy ra IK//AC

IK=1/2AC

mà IK=1/2EK

Suy ra EK//AC

EK=AC

Suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành

B A C D E K

Đúng(1)

ON

oanh nguyen

5 tháng 12 2016 - olm

1/ Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < ABC).Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại Na/ Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhậtb, Gọ D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoic, Cho AC=20cm, AC=25cm. Tính diện tích tam giác ABCd, Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK/DC = 1/32/ Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH....

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

PN

Po Nguyen

5 tháng 12 2016

1/ Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < ABC).Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại Na/ Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhậtb, Gọ D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoic, Cho AC=20cm, AC=25cm. Tính diện tích tam giác ABCd, Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK/DC = 1/32/ Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH....

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

TT

Tran Thi Thuy Trang

3 tháng 12 2018

1a/IM vuông góc AB=>AMI=90 do

IN vuông góc AC=>ANI=90 do

△ABC vuông tại A=>BAC=90 do

=>góc AMI= gocANI= gocBAC= 90 do => tứ giác AMIN là hình chữ nhật

1b/Có I dx vs D qua N => ID là đường trung trực của AC=>AI=AD; IC=ID(1)

Trong △ABC có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC =>AI=1/2BC hay AI=IC(2)

Từ (1) va (2) => AI=IC=CD=DA => Tu giac AICD la hthoi

Đúng(0)

TT

Tran Thi Thuy Trang

3 tháng 12 2018

2a/ Có M là TĐ AB và M là điểm đối xứng giữa E và H

=> AM=MB VA EM=MH hay AB giao voi EH tai TD M

=> Tg AEBH la hbh co AHB=90 do => Hbh AEBH la hcn

2b/Co AEBH la hcn=>EH=AB

+) Mà AB=AC=>EH=AC(1)

+) △ABC cân tại A có AH là đường cao đồng thời phân giác của góc BAC => góc BAH=góc HAC.

Co goc BAH=1/2 EAH ; góc AHE=1/2AHB

Ma goc EAH= goc AHB=>BAH=AHE hay goc HAC= goc AHE.

Mà 2 góc này ở vị trí SLT=> EH//AC(2)

Từ (1) va (2)=>tg AEHC la hbh

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP