Question

[lê trần anh khôi]

Cho tam giác ABC và O là điểm nằm trong tam giác đó. Gọi M, N, K lần lượt là giao điểm của AO với BC, BO với AC và CO với AB. Qua O, kẻ các đoạn thẳng EF, PQ, IJ sao cho EF//BC (E thuộc AB, F thuộc AC), PQ//AC (P thuộc AB, Q thuộc BC), IJ//AB (I thuộc AC, J thuộc BC).

1)     Chứng minh  \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=1\)

2)     Chứng minh .\(\frac{EF}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{IJ}{AC}=2\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Xét \(\Delta\)AMC: OQ//AC (O\(\in\)AM; Q\(\in\)MC) => \(\frac{OM}{AM}=\frac{MQ}{MC}\)(1)

Tương tự, ta có: \(\frac{OM}{AM}=\frac{MJ}{BM}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{OM}{AM}=\frac{MQ+MJ}{BM+MC}=\frac{JQ}{BC}\)(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Xét \(\Delta\)BNC: OQ//NC (O\(\in\)BN; Q\(\in\)BC) => \(\frac{ON}{BN}=\frac{QC}{BC}\)

Tương tự: \(\frac{OK}{CK}=\frac{BJ}{BC}\)

Vây \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=\frac{JQ}{BC}+\frac{QC}{BC}+\frac{BJ}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)(đpcm).

b) Đề sai thì phải, theo mình nên sửa \(\frac{IJ}{AC}\)thành \(\frac{IJ}{AB}\)

Ta có: \(\frac{PQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}\) và  \(\frac{IJ}{AB}=\frac{CJ}{BC}\)(Hệ quả ĐL Thales)

\(\frac{EF}{BC}=\frac{OE}{BC}+\frac{OF}{BC}\)

Lại có: \(\frac{OE}{BC}=\frac{OK}{KC}=\frac{BJ}{BC}\); \(\frac{OF}{BC}=\frac{ON}{BN}=\frac{QC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{BJ+QC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{EF}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{IJ}{AB}=\frac{BJ+QC+BQ+CJ}{BC}=\frac{BJ+JQ+CJ+JQ+BJ+CJ}{BC}\)

\(=\frac{2BJ+2JQ+2CJ}{BC}=\frac{2.\left(BJ+JQ+CJ\right)}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2\)

Vậy: \(\frac{EF}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{IJ}{AB}=2\)(đpcm).