Question

[Đỗỗ Trọngg Phướcc]

Cho tam giác ABC và M là 1 điểm nằm trong tam giác. Vẽ MD vuông góc với BC; ME vuông góc với CA; MF vuông góc với AB

Đặt AB = c ; AC = b; BC = a; MD = x; ME = y; MF = z  và \(S\Delta ABC=S\)

CMR:  \(ax+by+cz=2S\)

Từ đó tìm min (a/x + b/y + c/z)

P/s: Làm nhanh hộ mình nhé các cậu

Answer 1

[Dương Lam Hàng]

a) Ta có: \(S_{\Delta ABC}=S_{\Delta MBC}+S_{\Delta MCA}+S_{\Delta MAB}\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}MD.BC+\frac{1}{2}ME.AC+\frac{1}{2}MF.AB\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}by+\frac{1}{2}cz\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Rightarrow2S=ax+by+cz\)

=> đpcm

b) Ta có: \(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(ax+by+cz\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(\frac{a}{x}.by+\frac{b}{y}.ax\right)\) \(+\left(by.\frac{c}{z}+cz.\frac{b}{y}\right)+\left(cz.\frac{a}{x}+ax.\frac{c}{z}\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+bc\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+ca\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\)

\(\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2by+2ca=\left(a+b+c\right)^2\) 

(vì ta dễ chứng minh được \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) - tương tự với \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y};\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\))

Vậy \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(ax+by+cz\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

Vậy \(min\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S}\)