Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
@Akai Haruma @Nguyễn Việt Lâm @Nguyễn Việt Lâm @Lightning Farron giúp em
định lý hàm số sin:
a/ \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\)2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[180o - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
\(\frac{2R\times sinB}{cosB}+\frac{2R\times sinC}{cosC}=\frac{2R\times sin\left(B+C\right)}{sinBsinC}\)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 90o
vậy tam giác ABC vuông tại A
b/cosB+c/cosC=a/sinB.sinC (*)
Áp dụng định lý hàm số sin:
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[1800 - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
2R.sinB/cosB + 2RsinC/cosC = 2R.sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 900
Lời giải
Mấu chốt của bài toán, ta sẽ CM \(r=4R\sin\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right)\sin\left(\frac{C}{2}\right)\)
Ta có:
Theo định lý hàm sin: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow BC=2R\sin A\)
\(\Rightarrow 2R\sin A=BC=BN+NC=r\cot\left(\frac{B}{2}\right)+r\cot\left(\frac{C}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow 4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}=r\left ( \frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}} \right )=r\frac{\sin\frac{B+C}{2}}{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow 4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}=r\frac{\sin\frac{180^0-A}{2}}{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}=r\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)
Do đó BĐT chuyển về CM:
\(\sin^3\frac{A}{2}+\sin^3\frac{B}{2}+\sin^3\frac{C}{2}\geq 3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)
Hiển nhiên đúng theo AM-GM
Do đó ta có đpcm
Dấu $=$ xảy ra khi \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}\Leftrightarrow \triangle ABC\) đều