K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

b: Xét ΔAKB vuông tại K và ΔAKC vuông tại K có 

AB=AC
AK chung

Do đó: ΔAKB=ΔAKC

Suy ra: KB=KC

Xét ΔMBK vuông tại M và ΔNCK vuông tại N có 

KB=KC

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)

Do đó: ΔMBK=ΔNCK

Suy ra: KM=KN(1)

Xét ΔAKB vuông tại K có KM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AM\cdot MB=KM^2\left(2\right)\)

Xét ΔAKC vuông tại K có KN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot NC=KN^2\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AM\cdot MB=AN\cdot NC\)

góc ADC=góc AFC=90 độ

=>ADFC nội tiếp

=>góc DFA=góc DCA=góc BCA

=>góc DFA=góc BKA

=>DF//BK

=>DF vuông góc AB

MN//AB

=>MN vuông góc DF

12 tháng 11 2021

a, \(BC=BH+CH=10\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{BH\cdot BC}=6\left(cm\right)\\AC=\sqrt{CH\cdot BC}=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\approx\sin53^0\Rightarrow\widehat{B}\approx53^0\\ \Rightarrow\widehat{C}\approx90^0-53^0=37^0\)

b, Vì \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\) nên AMHN là hcn

Do đó \(MN=AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(AM\cdot MB=HM^2;AN\cdot NC=HN^2\)

Áp dụng PTG: \(HM^2+HN^2=MN^2=AH^2\)

Vậy \(AM\cdot MB+AN\cdot NC=AH^2\) 

29 tháng 10 2023

a: BC=BH+CH

=3,6+6,4=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=3,6\cdot6,4=23,04\)

=>\(AH=\sqrt{23,04}=4,8\left(cm\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AC^2=AH^2+HC^2\)

=>\(AC^2=4,8^2+6,4^2=64\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(\widehat{B}\simeq53^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>\(\widehat{ACB}\simeq90^0-53^0=37^0\)

b: Sửa đề; \(AM\cdot MB+AN\cdot NC=MN^2\)

Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMHN là hình chữ nhật

Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot MB=HM^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot NC=HN^2\)

\(AM\cdot MB+AN\cdot NC=HM^2+HN^2=MN^2\)

c: AK\(\perp\)MN

=>\(\widehat{ANM}+\widehat{KAC}=90^0\)

mà \(\widehat{ANM}=\widehat{AHM}\)(AMHN là hình chữ nhật)

nên \(\widehat{AHM}+\widehat{KAC}=90^0\)

mà \(\widehat{AHM}=\widehat{B}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{B}+\widehat{KAC}=90^0\)

mà \(\widehat{B}+\widehat{KCA}=90^0\)

nên \(\widehat{KAC}=\widehat{KCA}\)

=>KA=KC

\(\widehat{KAC}+\widehat{KAB}=90^0\)

\(\widehat{KCA}+\widehat{KBA}=90^0\)

mà \(\widehat{KAC}=\widehat{KCA}\)

nên \(\widehat{KAB}=\widehat{KBA}\)

=>KA=KB

mà KA=KC

nên KB=KC

=>K là trung điểm của BC

22 tháng 6 2023

 

  1. a) Ta có:

    • Diện tích tam giác ABC là S = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 3cm * 4cm = 6cm^2.
    • Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên diện tích tam giác ABC cũng bằng 1/2 * AB * CD, tức là: S = 1/2 * AB * CD = 3CD.
      Từ đó suy ra: CD = 2cm.

    b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC. Ta có:

    • Tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AB.

    • Tam giác BDE và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AC.
      Do đó, ta có:

    • AI/AB = DE/BC (vì tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng)

    • DE = AD - AE = AD - CD = AD - 2 (vì tam giác ADE vuông tại E và CD là hình chiếu của AD trên BC)

    • BC = AB + AC = 3 + 4 = 7
      Từ đó suy ra: AI/AB = (AD - 2)/7

    Vậy, ta có: AI*AB = (AD - 2)AB/7 = ADAB/7 - 2AB/7 = AD^2/3 - 2/7.

    c) Gọi F là hình chiếu vuông góc của D trên AB. Ta có:

    • Tam giác ADF và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AB.

    • Tam giác CDF và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng CD/AC.
      Do đó, ta có:

    • AI/AB = DF/AF (vì tam giác ADF và tam giác ABC đồng dạng)

    • AK/AC = CF/AF (vì tam giác CDF và tam giác ABC đồng dạng)

    • DF + CF = CD = 2

    • AF = AB - BF = AB - AK = 3 - AK (vì BF là hình chiếu của B trên AC và AK là hình chiếu của D trên AC)

    Từ đó suy ra: AI/AB = DF/(DF + CF) = DF/2 = (AD^2 - AF^2)/(2AD^2) = (AD^2 - (AB - AK)^2)/(2AD^2) = (2AK*AC - AK^2)/(2AD^2) = AK/AD - AK^2/(2AD^2).

    Từ b) và c), ta có: AIAB = AD^2/3 - 2/7 = AKAC*(1 - AK^2/(2AD^2)).

    d) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên BC. Ta có:

    • Tam giác ADH và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AD/AB.

    • Tam giác IDH và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng AI/AC.
      Do đó, ta có:

    • ID/AI = DH/AB (vì tam giác IDH và tam giác ABC đồng dạng)

    • DH = CD - CH = 2 - CI (vì tam giác ADH vuông tại H và CI là hình chiếu của I trên BC)

    • AB = 3, AC = 4, BC = 7

    Từ đó suy ra: ID/AI = (CD - CH)/AB = (2 - CI)/3.

    Do đó, ta có: ID/AI = (2 - CI)/3 = (2 - AK)/4 (vì AIAB = AKAC từ c))

    Từ đó suy ra: ID = (2AI - 3AK)/4.

    Vậy, ta có: ID/AI = (2AI - 3AK)/(4AI) = 1 - 3AK/(2AI) = 1 - DH

    18:22
  2.  
 
30 tháng 10 2023

a. Để tính AC và BC, ta sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: AC = AB * sin(C) = 6 * sin(40°) ≈ 3.86 BC = AB * cos(C) = 6 * cos(40°) ≈ 4.59

b. Gọi M là trung điểm của AC. Ta có BM là đường phân giác của góc B trong tam giác ABC. K là hình chiếu của A lên BM, và E là giao điểm của AH và BM. Theo định lý hình chiếu, ta có: AE = AM * sin(B) = (AC/2) * sin(B) = (3.86/2) * sin(40°) ≈ 1.24 c. Ta cần chứng minh rằng 1/AK² = 1/AB² + 1/AE². Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AKH, ta có: AK² = AH² + KH² Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABH, ta có: AB² = AH² + BH² Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AEH, ta có: AE² = AH² + EH² Từ đó, ta có: AK² - AB² = (AH² + KH²) - (AH² + BH²) = KH² - BH² Vì BN là đường phân giác của góc B, nên BH = BN/2. Khi đó, ta có: AK² - AB² = KH² - (BN/2)² = KH² - BN²/4 Từ định lý hình chiếu, ta biết rằng KH = AE. Khi đó, ta có: AK² - AB² = AE² - BN²/4 Nhân cả hai vế của phương trình trên với 4, ta có: 4(AK² - AB²) = 4(AE² - BN²/4) Simplifying, ta có: 4AK² - 4AB² = 4AE² - BN² Chia cả hai vế của phương trình trên cho 4AK² * AB², ta có: 1/AK² - 1/AB² = 1/AE² - 1/BN² Từ đó, ta có: 1/AK² = 1/AB² + 1/AE² Vậy phương trình đã được chứng minh. d. Ta cần tính KHI. Vì AK cắt BC tại I, nên ta có: KHI = KBC Vì BN là đường phân giác của góc B, nên ta có: KBC = KBA = KAB

Vậy KHI = KAB.

a: góc AEB=góc ADB=90 độ

=>AEDB nội tiếp

b,c: M ở đâu vậy bạn?

16 tháng 6 2016

A B C K M N

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :   AB^2 = BC . KB => \(AB=\sqrt{BC.KB}=\sqrt{5}.\)( cm ) 

Tương tự AC = \(2\sqrt{5}\)(cm )

b, Tứ giác AMKN có 3 góc vuông => AMKN là hình chữ nhật => MN = AK ( 2 đường chéo hcn bằng nhau ) 

=> MN = AK = ( AB . AC ) : BC = 2 ( cm )