Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ M kẻ đường song song với AN cắt BC tại K.Gọi I là giao điểm của MN với BC
Ta có: tam giác ABC cân tại Á nên góc B=góc C. Mà MK//AN => góc MKB =góc ABC => góc MKB=góc B=> MB=MK=CN
=> 180độ - góc MKB=180 độ - góc B=> góc MKI=góc ICN
MÀ góc KMN=góc INA (so le trong).
Vậy tam giác MKI bằng tam giác NIC(g.c.g)=>MI=NI(cạnh tương ứng)
=> I là trung điểm của MN
=>đpcm
A B C I M N H K
Mình xét mỗi trường hợp như hình vẽ mà thôi, còn nếu điểm M nằm ngoài đoạn AB thì cũng tương tự nha
Vẽ MH,NK cùng vuông góc với BC
Ta dễ thấy MB=NC
Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CNK\)có \(\widehat{BHM}=\widehat{CKN}=90;BM=CN\)\(;\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\)(vì cùng bằng với\(\widehat{ACB}\))
\(\Rightarrow\Delta BMH=\Delta CNK\left(CH.GN\right)\Rightarrow MH=NK\)
Xét \(\Delta MHI\)và \(\Delta NKI\)có \(\widehat{HMI}=\widehat{KNI}\)(2 góc so le trong và HM song song với KN);
\(HM=KN;\widehat{MHI}=\widehat{NKI}=90\)
\(\Rightarrow\Delta MHI=\Delta NKI\left(G.C.G\right)\Rightarrow MI=NI\)
Vậy I là trung điểm MN mà I là giao điểm của MN và BC nên ta có điều phải chứng minh
-Đường thẳng cố định :)
-Qua M,N kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AH tại G,F.
-AI cắt BC tại H.
-Xét △MIG có: MG//NF.
\(\Rightarrow\dfrac{MI}{IN}=\dfrac{IG}{IF}\) (định lí Ta-let)
Mà \(MI=IN\) (I là trung điểm MN)
\(\Rightarrow\dfrac{IG}{IF}=\dfrac{MI}{MI}=1\Rightarrow IG=IF\).
-Xét △ABH có: MG//BH.
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AG}{AH}\) (định lí Ta-let) (1)
-Xét △ACH có: NF//CH.
\(\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AF}{AH}\) (định lí Ta-let) (2)
-Từ (1), (2) suy ra: \(\dfrac{AG}{AH}+\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AM}{AB}+\dfrac{AN}{AC}=1\)
\(\Rightarrow AG+AF=AH\) mà \(AG+GH=AH\)
\(\Rightarrow AF=GH\) mà \(IG=IF\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow AF+IF=GH+IG\)
\(\Rightarrow AI=IH\) nên I là trung điểm AH.
-Hạ các đường thẳng vuông góc với BC qua A,I lần lượt tại J,K.
-Xét △AJK có: IK//AJ (do cùng vuông góc với BC).
\(\Rightarrow\dfrac{IK}{AJ}=\dfrac{IH}{AH}\) (định lí Ta-let)
Mà \(IH=\dfrac{1}{2}AH\) (H là trung điểm AI).
\(\Rightarrow\dfrac{IK}{AJ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AH}{AH}=\dfrac{1}{2}\)
-Vậy trung điểm I của MN chạy trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng cách là \(\dfrac{1}{2}AH\) (tức là I di chuyển trên đường trung bình của △ABC ứng với cạnh BC).