Question

[Hoàng Bảo Lâm]

Cho tam giác ABC. Góc B bằng 2 lần góc C. Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Trên tia đối của BA lấy E sao cho BE = BH. Đường thẳng EH cắt AC tại F. Chứng minh: FH = FA = FD

Answer 1

[Nguyễn Thái Thịnh]

Ta có: \(BE=BH\left(gt\right)\Rightarrow\Delta BEH\)cân tại B \(\Rightarrow\widehat{E}=\widehat{H_1}\)

Do \(\widehat{ABH}\)là góc ngoài của \(\Delta BHE\)nên: \(\widehat{ABH}=\widehat{E}+\widehat{H_1}\Rightarrow\widehat{ABH}=2.\widehat{H_1}\)

Mà \(\widehat{ABH}=2.\widehat{C}\)

\(\Rightarrow2.\widehat{H_1}=2.\widehat{C}\Rightarrow\widehat{H_1}=\widehat{C}\)

mà \(\widehat{H_1}\)và \(\widehat{H_2}\)( đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{H_2}\Rightarrow\Delta HFC\)cân tại F \(\Rightarrow FH=FC\left(1\right)\)

Ta có: \(\widehat{H_2}+\widehat{H_3}=90^0\)( cùng phụ nhau )

\(\widehat{A_1}+\widehat{C}=90^0\)( do \(\Delta AHC\)vuông tại H )

Mà \(\widehat{H_2}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{H_3}\Rightarrow\Delta AFH\)cân tại F \(\Rightarrow AF=FH\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\Rightarrow FH=FA=FC\)