K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 9 2017

Lời giải:

Ta chứng minh bổ đề sau:

Với tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm tam giác thì :

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Thật vậy. Gọi giao điểm \(AG\cap BC=T\Rightarrow T\) là trung điểm của tam giác. \(\Rightarrow \overrightarrow{BT}+\overrightarrow{CT}=0\)

Theo tính chất đường trung tuyến:

\(\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{TG}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GT}=0\) \((1)\)

\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BT}\\ \overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CT}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)

Áp dụng CT trên vào bài toán thì: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\\ \overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=0\end{matrix}\right.\)

Khi đó, từ \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'G'}\\ \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'G'}\\ \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'G'}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)

Ta có đpcm.

31 tháng 7 2019

Đề: G trọng tâm tam giác ABC

và G' trọng tâm tam giác A'B'C'

Ta có: \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'}\)

\(=3\overrightarrow{GG'}+\left(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)\(=3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{GG'}\left(đpcm\right)\)

Hai tam giác có cùng trọng tâm khi và chỉ khi \(G\equiv G'\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=0\)

1 tháng 8 2019

\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}\\ =\left(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\right)+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)\\ =3\overrightarrow{GG'}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{GG'}-\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{GG'}\)

15 tháng 8 2018

1) đây nha : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/637285.html

câu 2 cũng chả khác gì cả

30 tháng 3 2017

Giải bài 9 trang 28 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 8 2019

Lời giải:
Bổ đề: Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Chứng minh:

* Chiều thuận:

Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại $M$ thì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

Ta có: \(\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM};\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

Mà theo tính chất trọng tâm: \(-\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GM}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

* Chiều đảo:

Gọi $M,N$ là trung điểm của $BC,AC$

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}\) nên $G,A,M$ thẳng hàng.

Tương tự: $G,B,N$ thẳng hàng nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Ta có đpcm.

----------------------------------------------

Áp dụng vào bài:

$G$ là trọng tâm của $ABC$ và $A'B'C'$

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA'}-\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB'}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)

4 tháng 8 2019

Cách khác:

Gọi \(G,G'\)lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\) ,ta có:

\(3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)

\(3\overrightarrow{GG'}=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\right)\)

\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)

Để hai tam giác ABC và A'B'C' có trọng tâm trùng nhau \(\Rightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)(đpcm)

NV
11 tháng 10 2020

\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{0}\)