Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a:
- Vì \(E F \parallel A M\), theo định lý Ta-lét ta có:
\(\frac{D E}{A M} = \frac{D F}{A M} = 1\)
nên \(D E = A M\) và \(D F = A M\)
suy ra: \(D E + D F = A M + A M = 2 A M .\)
b:Vì \(E F \parallel A M\) và \(A M\) là trung tuyến, ta suy ra \(N\) là trung điểm của \(E F\) theo tính chất đường trung bình.
c: Ta có:
\(S_{F D C}^{2} = k^{4} S_{A M C}^{2}\) \(S_{A M C} \cdot S_{F N A} = S_{A M C} \cdot k S_{F D C}\)
Vậy ta cần chứng minh:
\(k^{4} S_{A M C}^{2} \geq k S_{A M C} \cdot S_{F D C}\)
Chia cả hai vế cho \(S_{A M C}\) (với \(S_{A M C} \neq 0\)):
\(k^{4} S_{A M C} \geq k S_{F D C}\)
Thế \(S_{F D C} = k^{2} S_{A M C}\) vào:
\(k^{4} S_{A M C} \geq k \cdot k^{2} S_{A M C}\) \(k^{4} S_{A M C} \geq k^{3} S_{A M C}\)
Chia cả hai vế cho \(S_{A M C}\) (giả sử \(S_{A M C} > 0\)):
\(k^{4} \geq k^{3}\)
Điều này đúng vì \(k \geq 1\) theo tỉ số đồng dạng.
4o
A A B B C C M M D D E E F F N N F' F'
a) Em tham khảo tại đây.
b) Trên tia đối tia FD, lấy điểm F' sao cho FF' = DE
Theo câu a ta có DF' = 2AM (1)
Lại có tứ giác ANDM có AN // DM, AM // DN nên ANDM là hình bình hành.
Vậy nên AM = ND (2)
Từ (1) và (2) suy ra NF' = ND
Lại có F'F = DE nên FN = EN hay N là trung điểm EF.
c) Ta có \(S^2_{FDC}\ge16S_{AMC}.S_{FNA}\Leftrightarrow\frac{S_{AMC}}{S_{FDC}}.\frac{S_{FNA}}{S_{FDC}}\le\frac{1}{16}\)
Ta thấy \(\frac{S_{AMC}}{S_{FDC}}=\left(\frac{MC}{DC}\right)^2;\frac{S_{FNA}}{S_{FDC}}=\left(\frac{AF}{FC}\right)^2\)
nên ta cần chứng minh \(\frac{MC}{DC}.\frac{AF}{FC}\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{MC}{DC}.\left(1-\frac{AC}{FC}\right)\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{MC}{DC}.\left(1-\frac{MC}{DC}\right)\le\frac{1}{4}\)
Đặt \(\frac{MC}{DC}=x\Rightarrow x\left(1-x\right)=-x^2+x=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\)
Vậy ta đã chứng minh xong.
A B C D O M N
c)\(\Delta AOB,\Delta BOC\)có chung đường cao hạ từ B nên\(\frac{S_1}{S_4}=\frac{OA}{OC}\left(1\right)\)
\(\Delta AOD,\Delta DOC\)có chung đường cao hạ từ D nên\(\frac{S_3}{S_2}=\frac{OA}{OC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2),ta có\(\frac{S_1}{S_4}=\frac{S_3}{S_2}\Rightarrow S_1.S_2=S_3.S_4\)
d) Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét,ta có :
\(\Delta ADB\)có OM // AB nên\(\frac{OM}{AB}=\frac{OD}{DB}\left(3\right)\)
\(\Delta ABC\)có ON // AB nên\(\frac{ON}{AB}=\frac{OC}{AC}\left(4\right);\frac{ON}{AB}=\frac{NC}{BC}\left(5\right)\)
\(\Delta COD\)có AB // CD nên\(\frac{OD}{DB}=\frac{OC}{AC}\left(6\right)\)
\(\Delta BDC\)có ON // DC nên\(\frac{ON}{CD}=\frac{BN}{NC}\left(7\right)\)
Từ (3),(5),(6),ta có\(\frac{OM}{AB}=\frac{ON}{AB}\Rightarrow OM=ON\Rightarrow MN=2ON\Rightarrow\frac{1}{ON}=\frac{2}{MN}\)
Cộng (5) và (7),vế theo vế,ta có :\(\frac{ON}{AB}+\frac{ON}{CD}=\frac{BN}{BC}+\frac{NC}{BC}\Leftrightarrow ON.\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{ON}=\frac{2}{MN}\)
P/S : Bạn xem lại đề để có thể xác định E,F nhé