Question

[Lâm Hoàng]

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi I là trung điểm AC, trên tia đối của IH lấy điểm E sao cho IE = IH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Cm tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Cm HG= GK= KE.

giup mikk voiii

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác AHCE có

I là trung điểm chung của AC và HE

=>AHCE là hình bình hành

Hình bình hành AHCE có \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên AHCE là hình chữ nhật

b: Xét ΔAHC có

HI,AM là đường trung tuyến

HI cắt AM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔAHC

=>\(HG=\dfrac{2}{3}HI=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot HE=\dfrac{1}{3}HE\)

Xét ΔEAC có

AN,EI là đường trung tuyến

AN cắt EI tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔEAC

=>\(EK=\dfrac{2}{3}EI=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot EH=\dfrac{1}{3}EH\)

HG+GK+KE=HE

=>\(GK+\dfrac{1}{3}HE+\dfrac{1}{3}HE=HE\)

=>\(GK=HE\left(1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}HE\)

=>HG=GK=KE