Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Ta có △ABM vuông tại M (∠AMB chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB)
Xét △ABM và △ABC có:
∠B chung
∠AMB=∠BAC=90 độ
Vậy △ABM ∼△ABC (g-g)
=>∠BAM=∠BCA
Mà ∠BAM=∠BEM ( Góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=>∠BEM=∠BCA
Suy ra tứ giác MEFC nội tiếp ( Góc ngoài= Góc đối trong)
2) Vì △ABC vuông tại A nên AC tiếp tuyến (O)
=>∠EAC=∠ABE
Mà ∠ABE=∠AME ( Góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
=>∠EAC=∠AME hay ∠EAK=∠AMK
Xét △AEK và △AKM có ∠K chung
∠EAK=∠AMK (cmt)
Vậy △AEK ∼△AKM(g-g)
=> KE/AK=AK/KM <=> AK2=KE.KM (đpcm)
Câu hỏi của Nhóc vậy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo câu tương tự tại đây.
Với câu c, ta thấy \(sin\widehat{BAC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\widehat{BAC}=45^o\Rightarrow tan\widehat{BAC}=1\Rightarrow\frac{BC}{AH}=1\)
Vậy AH = BC.
B M A E H O I C
b) Ta có : EA = EH ( gt )
Xét : tam giác MHA vuông tại M . có ME là trung tuyến
\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}AH\Rightarrow ME=EH\)
\(\Rightarrow\Delta MEH\)cân tại E
\(\Rightarrow\widehat{EMH}=\widehat{H_1}\left(1\right)\)
Ta lại có : \(OM=OC\left(=bk\right)\Rightarrow\Delta OMC\)cân tại O
\(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\left(2\right)\)
Mặt khác : Tam giác IHC vuông tại I => \(\widehat{ICM}+\widehat{H_1}=90^o\)
mà \(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\)( đối đỉnh ) \(\Rightarrow\widehat{ICM}+\widehat{H_2}=90^o\left(3\right)\)
Từ (1)(2) và (3) => \(\widehat{OMC}+\widehat{EHM}=90^o\)
mà \(\widehat{OME}=\widehat{OMC}+\widehat{EHM}=90^o\)
\(\Rightarrow ME\perp OM\)tại M
Vậy : ME là tiếp tuyến của đường tròn tâm O ( đpcm )
A B C D E K H N M 2 1 2 1 1 1 F O
Xét \(\Delta ABK\)và \(\Delta C\text{D}K\)có:
\(\widehat{A_1}=\widehat{C_2}\)( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD )
\(\widehat{AKB}=\widehat{CK\text{D}}\)( đối đỉnh )
\(\Rightarrow\Delta ABK~\Delta C\text{D}K\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{KA}{KB}=\frac{KC}{K\text{D}}\Rightarrow KA.K\text{D}=KB.KC\)
b) Kéo dài CH và BH cắt AB và AC lần lượt tại N và M
Xét \(\Delta HC\text{D}\) có:
CK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
\(\Rightarrow\Delta HC\text{D}\)cân tại C
\(\Rightarrow\)CK là đường phân giác của \(\widehat{HC\text{D}}\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)
Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta CKH\)có:
\(\widehat{AHM}=\widehat{CHK}\)( đối đỉnh )
\(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\)( cùng bằng \(\widehat{C_2}\))
\(\Rightarrow\Delta AMH~\Delta CKH\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{CKH}=90^0\)
Hay \(CM\perp AB\)
Xét \(\Delta ABC\)có:
2 đường cao cắt nhau tại H
\(\Rightarrow\)H là trực tâm của tam giác ABC
c) Ta có: DE // BC Mà \(A\text{D}\perp BC\Rightarrow DE\perp A\text{D}\Rightarrow\widehat{FDE}=90^0\)
Xét \(\Delta AFB\)Và \(\Delta\text{E}FD\)có:
\(\widehat{F_1}=\widehat{F_2}\)( đối đỉnh )
\(\widehat{A_1}=\widehat{FED}\)( góc nội tiếp cùng chắn cung BD )
\(\Rightarrow\Delta\text{A}FB~\Delta\text{E}FD\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABF}=\widehat{E\text{D}F}=90^0\)
Xét tam giác ABE nội tiếp đường tròn ( O, R )
có: \(\widehat{ABE}=90^0\)\(\Rightarrow\)AE là đường kính của ( O, R )
\(\Rightarrow\)A , O , E thẳng hàng
A B C K L M E F N J I D
a) Ta có hai tứ giác MNKE,AMKC nội tiếp nên ^MEN = ^MKN = ^MCA = ^ABL => NE // BL
Dễ dàng chứng minh MA là phân giác ngoài của ^KML, kết hợp với tứ giác MNKE nội tiếp
Suy ra ^EKN = ^AMN = ^EMK = ^ENK => \(\Delta\)NEK cân tại E => EN = EK
Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{KE}{BL}=\frac{NE}{BL}=\frac{MN}{ML}\). Tương tự như thế \(\frac{KF}{CM}=\frac{LN}{ML}\)
Do đó \(\frac{KE}{BL}+\frac{KF}{CM}=\frac{MN+LN}{ML}=1\)(đpcm).
b) Gọi EF cắt hai đường tròn (KNM),(KNL) lần lượt tại J,I (I,J khác F,E)
Dễ thấy EF là trung trực đoạn KN nên IF,JE đồng thời là trung trực của NK.
Mà NK là dây cung của (KNM) và (KNL) nên JE,IF lần lượt là đường kính của (KNM),(KNL)
Ta có ^KFJ = ^KLI = ^KCJ => Tứ giác KJFC nội tiếp. Do EF vuông góc AK, AK vuông góc BC nên EF//BC
Từ đó tứ giác KJFC thang cân. Tương tự: Tứ giác KIEB thang cân
Gọi đường thẳng qua I song song với AC cắt BC ở D. Khi đó tứ giác DIFC bình hành => IF = DC (1)
Đồng thời ^DIJ = ^FCK = ^JKD => Tứ giác KIJD nội tiếp, kết hợp IJ // BC => Tứ giác KIJD thang cân
Do vậy ^JDK = ^IKD = ^BEI và ^DJI = ^IKB = ^EBK. Từ đây có tứ giác BEJD bình hành => JE = BD (2)
Từ (1);(2) => IF + JE = DC + BD = BC. Vì IF.JE là đường kính của (KNL),(KNM) nên ta được ĐPCM.