Question

[Incognito]

Cho tam giác ABC có ba đường cao AK,BL,CM. Gọi AK cắt ML tại N. Đường tròn (KNM) cắt AB tại E khác M, (KNL) cắt AC tại F khác L. Chứng minh rằng:

a) \(\frac{KE}{BL}+\frac{KF}{CM}=1\)                            b) Tổng độ dài đường kính của 2 đường tròn (KNM) và (KNL) bằng độ dài cạnh BC.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có hai tứ giác MNKE,AMKC nội tiếp nên ^MEN = ^MKN = ^MCA = ^ABL => NE // BL

Dễ dàng chứng minh MA là phân giác ngoài của ^KML, kết hợp với tứ giác MNKE nội tiếp

Suy ra ^EKN = ^AMN = ^EMK = ^ENK => \(\Delta\)NEK cân tại E => EN = EK

Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{KE}{BL}=\frac{NE}{BL}=\frac{MN}{ML}\). Tương tự như thế \(\frac{KF}{CM}=\frac{LN}{ML}\)

Do đó \(\frac{KE}{BL}+\frac{KF}{CM}=\frac{MN+LN}{ML}=1\)(đpcm).

b) Gọi EF cắt hai đường tròn (KNM),(KNL) lần lượt tại J,I (I,J khác F,E)

Dễ thấy EF là trung trực đoạn KN nên IF,JE đồng thời là trung trực của NK.

Mà NK là dây cung của (KNM) và (KNL) nên JE,IF lần lượt là đường kính của (KNM),(KNL)

Ta có ^KFJ = ^KLI = ^KCJ => Tứ giác KJFC nội tiếp. Do EF vuông góc AK, AK vuông góc BC nên EF//BC

Từ đó tứ giác KJFC thang cân. Tương tự: Tứ giác KIEB thang cân

Gọi đường thẳng qua I song song với AC cắt BC ở D. Khi đó tứ giác DIFC bình hành => IF = DC (1)

Đồng thời ^DIJ = ^FCK = ^JKD => Tứ giác KIJD nội tiếp, kết hợp IJ // BC => Tứ giác KIJD thang cân

Do vậy ^JDK = ^IKD = ^BEI và ^DJI = ^IKB = ^EBK. Từ đây có tứ giác BEJD bình hành => JE = BD (2)

Từ (1);(2) => IF + JE = DC + BD = BC. Vì IF.JE là đường kính của (KNL),(KNM) nên ta được ĐPCM.