Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét bài toán (II): Cho tam giác A'B'C' điểm D' thuộc cạnh BC sao cho \(\frac{A'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\).
Chứng minh: A'D' là phân giác góc A' của tam giác A'B'C'
Trên tia đối tia D'A' lấy điểm E' sao cho B'E'=B'A'
=> \(\Delta B'E'A'\)cân tại B'
=> \(\widehat{B'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(1)
Xét tam giác: A'D'C' và tam giác E'D'B' có: \(\frac{E'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\)và \(\widehat{C'D'A'}=\widehat{B'D'E'}\)
=> Hai tam giác trên đồng dạng
=> \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(2)
Từ (1), (2) => \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'A'D'}\)=> A'D' là phân giác góc A của tam giác A'B'C'
Quay lại bài toán của bạn:
Xét tam giác EFD có: M thuộc FD và \(\frac{ED}{EF}=\frac{MD}{MF}\)
theo bài toán (II) đã chứng minh ở trên ta có: EM là phân giác góc \(\widehat{FED}\)
tương tự FN là phân giác góc \(\widehat{DFE}\)
mà EM cắt FN tại H
=> H là giao ba đường phân giác trong tam giác DEF
=> DA là phân giác trong góc FDE
Như vậy cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC
Bài này có thể phải dùng tới định lí Menenaus hoặc Ceva. Em đã được học về các định lý này chưa?
\(\frac{OA}{AD}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AOC}}{S_{ACD}}=\frac{S_{AOB}+S_{AOC}}{SABC}\)
Tương tự rồi cộng lại ta đc
\(\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=\frac{2\left(S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}\right)}{S_{ABC}}=2\)
Bài Giải
Đặt SBOC=x2,SAOC=y2,SAOB=z2 ⇒SABC=SBOC+SAOC+SAOB=x2+y2+z2
Ta có : ADOD =SABCSBOC =AO+ODOD =1+AOOD =x2+y2+z2x2 =1+y2+z2x2
⇒AOOD =y2+z2x2 ⇒√AOOD =√y2+z2x2 =√y2+z2x
Tương tự ta có √OBOE =√x2+z2y2 =√x2+z2y ;√OCOF =√x2+y2z2 =√x2+y2z
⇒P=√x2+y2z +√y2+z2x +√x2+z2y ≥x+y√2z +y+z√2x +x+z√2y
=1√2 [(xy +yx )+(yz +zy )+(xz +zx )]≥1√2 (2+2+2)=3√2
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z⇒SBOC=SAOC=SAOB=13 SABC
⇒ODOA =OEOB =OFOC =13 ⇒O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy MinP=3√2 khi O là trọng tâm của tam giác ABC