Question

[Nguyễn Nhật Minh]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H.

a, Chứng minh tam giác ABN ∾ ACP và NP/BC=AN/AB

b, Chứng minh AH . AM = AP . AB và AHB = APM

c, Tính tỉ số diện tích của tam giác ANP và tam giác ABC biết BAC = 60

d,Từ N vẽ đường thẳng song song với AB cắt HC tại F từ P vẽ đường thẳng song song với AC cắt HB tại E chứng minh rằng EF//BC

Answer 1

[Phạm Thành Đông]

A B C M N P H F E 1

a) Xét \(\Delta ABN\)và \(\Delta ACP\)có:

\(\widehat{A}\)chung

\(\widehat{BNA}=\widehat{CPA}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABN-\Delta ACP\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AN}{AP}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)

Xét \(\Delta ANP\)và \(\Delta ABC\)có :

\(\frac{AN}{AP}=\frac{AB}{AC}\)(chứng minh trên)

\(\widehat{A}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta ANP-\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{AB}=\frac{NP}{BC}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng) (điều phải chứng minh)

b) Xét \(\Delta PAH\)và \(\Delta MAB\)có:

\(\widehat{APH}=\widehat{AMB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{A_1}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta PAH-\Delta MAB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AP}{AM}\)(2 cặp góc tỉ lệ tương ứng) 

\(\Rightarrow AM.AH=AP.AB\)(điều phải chứng minh)

Answer 2

[Phạm Thành Đông]

(tiếp)  \(\frac{AH}{AB}=\frac{AP}{AM}\)\(\Rightarrow\frac{AH}{AP}=\frac{AB}{AM}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Xét \(\Delta HAB\)và \(\Delta PAM\)có:

\(\widehat{A_1}\)chung

\(\frac{AH}{AP}=\frac{AB}{AM}\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta HAB-\Delta PAM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{APM}\)(cặp góc bằng nhau) (điều phải chứng minh)

c) Vì \(BN\perp AC\)(giả thiết) \(\Rightarrow\Delta NAB\)vuông tại N

Xét \(\Delta NAB\)vuông tại N có \(\widehat{NAB}=60^0\)(vì \(\widehat{CAB}=60^0\))

Do đó \(AN=\frac{AB}{2}\Rightarrow\frac{AN}{AB}=\frac{1}{2}\)

Vì \(\Delta ANP-\Delta ABC\)(theo câu a))

\(\Rightarrow\frac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AN}{AB}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)(định lí tỉ số 2 tam giác đồng dạng)

Vậy \(\frac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}\)