Question

[Phạm Thị Tú Anh]

Cho tam giác ABC (AB < AC), tia phân giác AD (D ∈ BC). Vẽ
BE ⊥ AD (E ϵ AC) và H là giao điểm của AD với BE.
a/ minh:△ ABH =△ AEH
b/ Chứng minh:△BHD = △EHD.
c/ Trên tia đối của tia DE lấy điểm K sao cho DC = DK. Chứng
min KBD=CED và A, B, K thẳng hàng.

d] Góc CBE= Góc BCK

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔAEH vuông tại H có

AH là cạnh chung

\(\widehat{BAH}=\widehat{EAH}\)(do AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), H∈AD, E∈AC)

Do đó: ΔABH=ΔAEH(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

b) Xét ΔBHD vuông tại H và ΔEHD vuông tại H có

BH=HE(ΔABH=ΔAEH)

HD là cạnh chung

Do đó: ΔBHD=ΔEHD(hai cạnh góc vuông)

c) Xét ΔBDK và ΔEDC có

KD=CD(gt)

\(\widehat{BDK}=\widehat{EDC}\)(hai góc đối đỉnh)

BD=ED(ΔBHD=ΔEHD)

Do đó: ΔBDK=ΔEDC(c-g-c)

⇒\(\widehat{KBD}=\widehat{CED}\)(hai góc tương ứng)

Xét ΔABD và ΔAED có

AB=AE(ΔABH=ΔAEH)

BD=ED(ΔBDH=ΔEHD)

AD là cạnh chung

Do đó: ΔABD=ΔAED(c-c-c)

⇒\(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\)(hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{KBD}=\widehat{CED}\)(cmt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\)(cmt)

Do đó: \(\widehat{KBD}+\widehat{ABD}=\widehat{AED}+\widehat{CED}\)(1)

Ta có: E∈AC(gt)

⇒\(\widehat{AED}+\widehat{CED}=180^0\)(hai góc kề bù)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{KBD}+\widehat{ABD}=180^0\)

mà \(\widehat{KBD}+\widehat{ABD}=\widehat{ABK}\)(tia BD nằm giữa hai tia BA,BK)

nên \(\widehat{ABK}=180^0\)

⇒A,B,K thẳng hàng(đpcm)

d) Xét ΔABE có AB=AE(ΔABH=ΔAEH)

nên ΔABE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{ABE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABE cân tại A)(3)

Ta có: AK=AB+BK(do A,B,K thẳng hàng)

AC=AE+EC(do A,E,C thẳng hàng)

mà AB=AE(ΔABH=ΔAEH)

và BK=EC(ΔBDK=ΔEDC)

nên AK=AC

Xét ΔAKC có AK=AC(cmt)

nên ΔAKC cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{AKC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔAKC cân tại A)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{ABE}=\widehat{AKC}\)

mà \(\widehat{ABE}\) và \(\widehat{AKC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên BE//KC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

⇒\(\widehat{CBE}=\widehat{BCK}\)(hai góc so le trong)(đpcm)