Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tra lời:
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\)
hok tốt
Đặt k là giá trị của hai phân số, ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow b=k.a;d=k.c\)
\(\frac{a-b}{a}=\frac{b.k-b}{b.k}=\frac{b\left(k-1\right)}{b.k}=\frac{k-1}{k}\)
\(\frac{c-d}{c}=\frac{d.k-d}{d.k}=\frac{d\left(k-1\right)}{d.k}=\frac{k-1}{k}\)
Vì \(\frac{k-1}{k}=\frac{k-1}{k}\)nên \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\)
* Chứng minh tổng hai phân số dương nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng 2 :
Cho phân số : \(\frac{a}{b}\) \(\left(a,b\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Do đó :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) ( điều phải chứng minh )
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Chúc bạn học tốt ~
\(a)\) Ta có :
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Vì tổng của hai phân số nguyên dương nghịch đảo sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng 2 nên ta được :
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\\\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\end{cases}}\)
Cộng theo vế ba đẳng thức trên ta có :
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2+2+2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\)\(S\ge6\)
Vậy \(S\ge6\)
\(b)\) Vì \(S\ge6\) nên \(S_{min}=6\) khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt ~
Đặt: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)(*)
=> a=bk, c=dk.
Từ đó ta có : \(\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\)(**)
Và: \(\frac{a-c}{b-d}=\frac{bk-dk}{b-d}=\frac{k\left(b-d\right)}{b-d}=k\)(***)
Từ (*),(**) và (***) suy ra : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\)
Ta có :
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}\left(1\right)}\)
Thay vào biểu thức \(\frac{a+c}{b+d}\) ta có :
<=> \(\frac{bk+dk}{b+d}\Leftrightarrow\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\left(2\right)\)
Thay vào biểu thức \(\frac{a-c}{b-d}\) ta có:
<=> \(\frac{bk-dk}{b-d}\Leftrightarrow\frac{k\left(b-d\right)}{b-d}=k\left(3\right)\)
Từ (1) ,(2) và (3) => đpcm