Question

[Đức Phạm]

cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.

a) chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5

b) biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số 

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

quá dễ dàng

a) Mọi số tự nhiên lớn hơn 3 khi chia cho 6 chỉ có thể xảy ra một trong 6 trường hợp : dư 0, dư 1, dư 2, dư 3, dư 4, dư 5

+) nếu p chia 6 thì dư 0 thì p = 6k \(\Rightarrow\)p là hợp số

+) nếu p chia 6 thì dư 1 thì p = 6k + 1

+) nếu p chia 6 thì dư 2 thì p = 6k + 2 \(\Rightarrow\)p là hợp số

+) nếu p chia 6 thì dư 3 thì p = 6k + 3 \(\Rightarrow\)p là hợp số

+) nếu p chia 6 dư 4 thì p = 6k + 4 \(\Rightarrow\)p là hợp số

+) nếu p chia 6 dư 5 thì p = 6k + 5 

Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 6 thì chỉ có thể dư 1 hoặc dư 5 tức là p = 6k + 1 hoặc p = 6k + 5

b) Nếu p có dạng = 6k + 1 thì 8p + 1 = 8 . ( 6k + 1 ) + 1 = 48k + 9 \(⋮\)3, là hợp số. Vậy p không có dạng 6k + 1 mà p có dạng 6k + 5,

khi đó 4p + 1 = 4 . ( 6k + 5 ) + 1 = 24k + 21k \(⋮\)3 . Rõ ràng 4p + 1 là hợp số

Answer 2

[Trần Hoàng Việt]

Ta có :

n² + n + 1 = n . ( n + 1 ) + 1

Vì n . ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên ⋮2 ⇒n . (  n + 1 ) + 1 là một số lẻ nên không chia hết cho 4

Vì n . ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9. Do đó n . ( n + 1 ) + 1 không có tận cùng là 0

hoặc 5 . Vì vậy, n² + n + 1 không chia hết cho 5

P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình