Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
$a^2-1=(a-1)(a+1)$
Vì $a$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $a$ không chia hết cho $3$. Suy ra $a$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$
Nếu $a$ chia $3$ dư $1\Rightarrow a-1\vdots 3\Rightarrow a^2-1=(a-1)(a+1)\vdots 3$
Nếu $a$ chia $3$ dư $2\Rightarrow a+1\vdots 3\Rightarrow a^2-1=(a-1)(a+1)\vdots 3$
Vậy $a^2-1\vdots 3(1)$
Mặt khác, $a$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $a$ lẻ. Do đó $a$ có dạng $4k+1$ hoặc $4k+3$ ($k\in\mathbb{Z}$)
Nếu \(a=4k+1\Rightarrow a^2-1=(4k+1)^2-1=16k^2+8k\vdots 8\)
Nếu \(a=4k+3\Rightarrow a^2-1=(4k+3)^2-1=16k^2+24k+8\vdots 8\)
Vậy $a^2-1\vdots 8(2)$
Từ $(1);(2)$ mà $(3,8)=1$ nên $a^2-1\vdots 24$ (đpcm)
Bài 2:
Từ bài 1 ta thấy rằng với mọi số $a$ là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $a^2-1\vdots 24(1)$
Tương tự $b^2-1\vdots 24(2)$
Từ \((1);(2)\Rightarrow (a^2-1)-(b^2-1)\vdots 24\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2\vdots 24\) (đpcm)
Dễ dàng chứng minh được \(3^p-2^p-1⋮6\)
Ta có \(3^p-2^p-1=3^p+4^p-\left(4^p+2^p+1\right)\) chia hết cho 7
Vì \(\left(2^p-1\right)\left(4^p+2^p+1\right)=8^p-1\) chia hết cho 7
Ta chứng minh \(2^p-1\) ko chia hết cho 7 bằng cách
Xét \(p=3k+1,3k+2\)
Áp dụng định lí Fermat nhỏ : \(3^p-3⋮p,2^p-2⋮p\) suy ra đpcm
Hắc Hường lê thị hương giang Akai Haruma Trần Thọ Đạt
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG Nguyễn Huy Tú
Mashiro Shiina Nguyễn Thanh Hằng Mysterious Person