Question

[Phạm Tuấn Kiệt]

Cho ( O, R ) đường kính AB . Lấy điểm C nằm trên đường tròn , tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại B ở D và E . Chứng minh 

a) OE vuông góc với BC và tam giác ABC 

b) DE = AD + BE 

c) DÔE = 90 độ

d) BE.AD=R mũ 2

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Minh]

\(a,\) Theo tc 2 tt cắt nhau: \(BE=CE\Rightarrow E\in\text{trung trực }BC\)

Mà \(OB=OC=R\Rightarrow O\in\text{trung trực }BC\)

Do đó OE là trung trực BC

Vậy \(OE\perp BC\)

\(b,\) Theo tc 2 tt cắt nhau \(AD=CD;BE=CE\)

\(\Rightarrow AD+BE=CE+CD=DE\)

\(c,\) Ta có \(OB=OC=R\Rightarrow\Delta OBC\text{ cân tại }O\)

Mà OE là trung trực nên cũng là phân giác

\(\Rightarrow\widehat{COE}=\widehat{BOE}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOC}\)

Tương tự \(a,\) ta được OD là trung trực AC

Mà \(OA=OC=R\Rightarrow\Delta OAC\text{ cân tại }O\)

Mà OD là trung trực nên cũng là phân giác

\(\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOC}\)

Ta có \(\widehat{DOE}=\widehat{COE}+\widehat{DOC}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOC}+\widehat{BOC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

\(d,\) Áp dụng HTL vào tam giác DOE vuông tại O có OC là đg cao:

\(BE\cdot AD=DC\cdot CE=OC^2=R^2\)