Question

[Khoi Minh]

Cho (o) đường kính AB trên (o) lấy 2 điểm C và D (C<AD) gọi E là giao điểm của AC,BD; BC cắt AD tại F.

A. CM tứ giác ECFD nội tiếp, EF vuông góc vs AB

B.gọi I là giao điểm của EF,AB.CM IF là đường cao của góc CID

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a. Do AB là đường kính và C, D thuộc đường tròn nên \(\widehat{ACB}\) ; \(\widehat{ADB}\) là các góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ECF}=\widehat{EDF}=90^0\)

\(\Rightarrow\) C và D cùng nhìn EF dưới 1 góc vuông nên ECFD nội tiếp

Do \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD\perp BE\\BC\perp AE\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow F\) là giao điểm 2 đường cao AD, BC của tam giác ABE

\(\Rightarrow F\) là trực tâm tam giác ABE

\(\Rightarrow EF\) là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow EF\perp AB\)

b.

Đề đúng: IF là đường phân giác (góc chỉ có phân giác chứ không có đường cao).

Theo câu a, do EF vuông góc AB tại I \(\Rightarrow\widehat{AIF}=90^0=\widehat{ACF}\)

\(\Rightarrow\) I và C cùng nhìn AF dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow ACFI\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{CIF}=\widehat{CAF}\) (cùng chắn CF) (1)

\(\widehat{AIE}=\widehat{ADE}=90^0\Rightarrow\) I và D cùng nhìn AE dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow AIDE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{EID}\)

Hay \(\widehat{CAF}=\widehat{EID}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{CIF}=\widehat{EID}\)

\(\Rightarrow IF\) là phân giác của \(\widehat{CID}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]