Question

[Lê Văn Tâm]

Cho (O), dây cung AB không đi qua tâm, vẽ các tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại C. a) Cho OC AB b) Vẽ đường kính AD của (O). C/m BD // OC c) Vẽ BH AD tại H, CD BH tại I . C/m BH= 2IH d) Biết góc AOB = 120 °.Tính $S_{ABC}$ theo R

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

CA,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CB

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AB

=>OC\(\perp\)AB tại trung điểm E của AB

b: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>AB\(\perp\)BD

Ta có: AB\(\perp\)BD

OC\(\perp\)AB

Do đó: BD//OC

c: Gọi giao điểm của DB với AC là K

Ta có: BH\(\perp\)AD

CA\(\perp\)AD

Do đó: BH//CA

Ta có: AB\(\perp\)BD tại B

=>AB\(\perp\)KD tại B

=>ΔABK vuông tại B

Ta có: \(\widehat{BAK}+\widehat{BKA}=90^0\)

\(\widehat{CBA}+\widehat{CBK}=\widehat{ABK}=90^0\)

mà \(\widehat{CBA}=\widehat{CAB}\)

nên \(\widehat{CBK}=\widehat{CKB}\)

=>CK=CB

mà CA=CB

nên CA=CK(3)

Xét ΔDCA có HI//AC

nên \(\dfrac{HI}{AC}=\dfrac{DI}{DC}\left(4\right)\)

Xét ΔDCK có IB//CK

nên \(\dfrac{IB}{CK}=\dfrac{DI}{DC}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra IH=IB

=>BH=2IH

d: Xét tứ giác AOBC có

\(\widehat{OAC}+\widehat{OBC}+\widehat{AOB}+\widehat{ACB}=360^0\)

=>\(\widehat{ACB}+120^0+90^0+90^0=360^0\)

=>\(\widehat{ACB}=60^0\)

Xét ΔBAC có CA=CB và \(\widehat{ACB}=60^0\)

nên ΔBAC đều

Xét (O) có

CA,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CO là phân giác của góc ACB

=>\(\widehat{ACO}=\widehat{BCO}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

Xét ΔOAC vuông tại A có \(tanACO=\dfrac{AO}{AC}\)

=>\(\dfrac{R}{AC}=tan30=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

=>\(AC=R\sqrt{3}\)

Vì ΔACB đều

nên \(S_{ACB}=AC^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{R^2\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4}\)