K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
13 tháng 10 2019
Đặt \(d=\left(m,n\right)\)
Ta có :\(\hept{\begin{cases}m=ad\\n=bd\end{cases}}\)với \(\left(a,b\right)=1\)
Lúc đó
\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{ad+1}{bd}+\frac{bd+1}{ad}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+a+b}{abd}\)là số nguyên
Suy ra \(a+b⋮d\Rightarrow d\le a+b\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)
Vậy \(\left(m,n\right)\le\sqrt{m+n}\)(đpcm)
27 tháng 7 2017
Ta có:
\(\frac{sin^4x}{m}+\frac{cos^4x}{n}\ge\frac{\left(sin^2x+cos^2x\right)^2}{m+n}=\frac{1}{m+n}\)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{sin^2x}{m}=\frac{cos^2x}{n}\)
Thế vào điều kiện đề bài ta có:
\(\frac{sin^4x}{m}+\frac{cos^4x}{n}=\frac{1}{m+n}\)
\(\Leftrightarrow\frac{sin^2x}{m}.\left(sin^2x+cos^2x\right)=\frac{1}{m+n}\)
\(\Leftrightarrow\frac{sin^2x}{m}=\frac{1}{m+n}\left(1\right)\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{sin^{2008}x}{m^{1003}}+\frac{cos^{2008}x}{n^{1003}}=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{sin^{2006}}{m^{1003}}.\left(sin^2x+cos^2x\right)=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{sin^2}{m}\right)^{1003}=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003}}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh là đúng.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 7 2021
Giả sử pt có 2 nghiệm, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-n\\x_1x_2=2m+3n-1\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1^2+x_2^2=13\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=13\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-n=-1\\2m+3n-1=-6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=-1\\m=-1\end{matrix}\right.\)
Áp dụn bđt cô si cho các số không âm ta có
\(m^2+n^2\ge2mn\Rightarrow m^2+2mn+n^2\ge4mn\Rightarrow\left(m+n\right)^2\ge4mn\) (1)
tương tự ta có
\(\left[\left(m+n\right)+p\right]^2\ge4\left(m+n\right)p\Rightarrow1\ge4\left(m+n\right)p\) (2)
từ (1) và (2) , nhân tựng vế của 2 bđt cùng chiều >=0 ta có
\(\left(m+n\right)^2\ge16mn\left(m+n\right)p\Rightarrow m+n\ge16mnp\) (ĐPCM)
dấu = xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}m+n+p=1\\m=n\\m+n=p\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=n=\frac{1}{4}\\p=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)
Câu hỏi của Phan Văn Hiếu - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath