Question

[My Phạm]

Cho m, n là các số thỏa mãn : 3m² + n = 4m² + n. Chứng minh ( m - n ) và ( 4m + 4n + 1 ) đều là số chính phương

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

\(3m^2+m=4n^2+n\)

\(\Leftrightarrow 4m^2+m=4n^2+n+m^2\)

\(\Leftrightarrow 4(m^2-n^2)+(m-n)=m^2\)

\(\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^2\)

Đặt $d$ là ước chung lớn nhất của $m-n$ và $4m+4n+1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 4m+4n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2=(m-n)(4m+4n+1)\vdots d^2\\ 4(m-n)+(4m+4n+1)\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d\\ 8m+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)

Vậy $m-n, 4m+4n+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là 1 số chính phương nên bản thân $m-n, 4m+4n+1$ cũng là các số chính phương (đpcm).

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

\(3m^2+m=4n^2+n\)

\(\Leftrightarrow 4m^2+m=4n^2+n+m^2\)

\(\Leftrightarrow 4(m^2-n^2)+(m-n)=m^2\)

\(\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^2\)

Đặt $d$ là ước chung lớn nhất của $m-n$ và $4m+4n+1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 4m+4n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2=(m-n)(4m+4n+1)\vdots d^2\\ 4(m-n)+(4m+4n+1)\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d\\ 8m+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)

Vậy $m-n, 4m+4n+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là 1 số chính phương nên bản thân $m-n, 4m+4n+1$ cũng là các số chính phương (đpcm).