HN
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2018
Lời giải:
Nếu \(n<2010\Rightarrow A<0\) (không thể là số chính phương)
Nếu \(n=2010,2011\Rightarrow A=0\in \text{scp}\) (thỏa mãn)
Nếu \(n\geq 2012\)
Đặt \(n-2012=a(a\geq 0)\). Khi đó:\(A=a(a+1)(a+2)\)
\(\Leftrightarrow A=(a^2+2a)(a+1)\)
Gọi \(d=\text{ƯCLN}(a^2+2a, a+1)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+2a\vdots d\\ a+1\vdots d\rightarrow a^2+a\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+2a-(a^2+a)\vdots d\Leftrightarrow a\vdots d\)
Mà \(a+1\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\)
Hay \(a^2+2a, a+1\) nguyên tố cùng nhau. Do đó để \((a^2+2a)(a+1)\) là một số chính phương thì $a^2+2a$ và $a+1$ là những số chính phương.
Đặt \(a^2+2a=t^2\Leftrightarrow a(a+2)=t^2\)
Nếu \(a\) lẻ. Dễ thấy \((a,a+2)\) nguyên tố cùng nhau. Do đó bản thân mỗi số là một số chính phương.\(\Rightarrow a=m^2; a+2=n^2(m,n\in\mathbb{N})\)
\(\Rightarrow 2=n^2-m^2=(n-m)(n+m)\)
Vì \(n+m\geq n-m>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-m=1\\ n+m=2\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n=3\Rightarrow n\not\in\mathbb{N}\)
(loại)
Nếu $a$ chẵn. Đặt \(a=2x\Rightarrow a(a+2)=t^2\Leftrightarrow 4x(x+1)=t^2\)
\(\Leftrightarrow x(x+1)=\left(\frac{t}{2}\right)^2\)
Dễ thấy $(x,x+1)$ nguyên tố cùng nhau. Do đó để tích hai số đó là một số chính phương thì bản thân mỗi số là số chính phương.
\(\Rightarrow x=m^2; x+1=n^2 (m,n\in\mathbb{N})\)
\(\Rightarrow 1=(n-m)(n+m)\)
Vì \(n+m\geq n-m>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-m=1\\ n+m=1\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n=2\Rightarrow n=1\)
\(\Rightarrow x=0\Rightarrow a=0\)
Khi $a=0$ thì $a+1=1$ cũng là số chính phương (thỏa mãn)
Do đó \(n=2012\)
Vậy \(n\in\left\{2010; 2011; 2012\right\}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 12 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu:
\(\sqrt{x-2010}=\frac{1}{2}\sqrt{4(x-2010)}\leq \frac{4+(x-2010)}{4}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x-2010}-1\leq \frac{4+(x-2010)}{4}-1=\frac{x-2010}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}\leq \frac{1}{4}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}+\frac{\sqrt{y-2011}-1}{y-2011}+\frac{\sqrt{z-2012}-1}{z-2012}\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-2010=4\\ y-2011=4\\ z-2012=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2014\\ y=2015\\ z=2016\end{matrix}\right.\)
TY
3
13 tháng 6 2018
\(C=\sqrt[3]{2011}-\sqrt[3]{2010}=\frac{2011-2010}{\left(\sqrt[3]{2011^2}+\sqrt[3]{2011}\sqrt[3]{2010}+\sqrt[3]{2010^2}\right)}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{2011^2}+\sqrt[3]{2011}\sqrt[3]{2010}+\sqrt[3]{2010^2}\right)}\)
\(B=\sqrt[3]{2010}-\sqrt[3]{2009}=\frac{2010-2009}{\left(\sqrt[3]{2010^2}+\sqrt[3]{2010}\sqrt[3]{2009}+\sqrt[3]{2009^2}\right)}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{2010^2}+\sqrt[3]{2010}\sqrt[3]{2009}+\sqrt[3]{2009^2}\right)}\)Vì \(\left(\sqrt[3]{2011^2}+\sqrt[3]{2011}\sqrt[3]{2010}+\sqrt[3]{2010^2}\right)>\left(\sqrt[3]{2010^2}+\sqrt[3]{2010}\sqrt[3]{2009}+\sqrt[3]{2009^2}\right)\)
\(B< C\)
NV
1
A
0
M<N
\(N=\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)^{2011}=\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)^{2010}.\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)\)
\(>\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)^{2010}.2011^{2010}=\left[\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)2011\right]^{2010}\)
\(>\left(2010^{2010}.2010+2011^{2010}.2011\right)^{2010}=\left(2010^{2011}+2011^{2011}\right)^{2010}=M\)
Vậy M < N,