Câu hỏi của Ánh Dương

Question

cho $\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013$ tính $A=x^{2014}-y^{2014}+1$

Phạm Minh Quang · Accepted Answer

Ta có: $\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013$

$\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)$

$\Leftrightarrow-2013\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)$

$\Leftrightarrow-y-\sqrt{y^2+2013}=x-\sqrt{x^2+2013}$

⇔$x+y=\sqrt{x^2+2013}-\sqrt{y^2+2013}$(1)

Nhân liên hợp tương tự nhân $y-\sqrt{y^2+2013}$vào hai về rút được

$x+y=\sqrt{y^2+2013}-\sqrt{x^2+2013}$(2)

Cộng vế theo vế (1)(2) ta được $x+y=0\Rightarrow x=-y$

Thay vào $A=\left(-y\right)^{2014}-y^{2014}+1=1$Câu trả lời: Ta có: $\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013$