\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=1\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) Tính
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 5 2018

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki dạng phân thức có

\(\dfrac{a^2}{a+2b^2}+\dfrac{b^2}{b+2c^2}+\dfrac{c^2}{c+2a^2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+2b^2+b+2c^2+c+2a^2}=\dfrac{9}{3+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (1)

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki có:

\(\left(a.1+b.1+c.1\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow9\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow3\ge a^2+b^2+c^2\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le6\) (2)

Thay (2) vào (1) có \(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+2c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{9}{3+6}=1\) (đpcm)

Dấu = xảy ra khi a= b=c=1

13 tháng 8 2019

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{a+b+c}{abc}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot1=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)

Vậy....

13 tháng 8 2019

\(a+b+c=3abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3\left(chia:abc\right);\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=-5\)

2 tháng 2 2017

1) Ta có:

\(P=\frac{2x}{x^2+1}\)

\(P=\frac{-x^2-1+x^2+2x+1}{x^2+1}\)

\(P=\frac{-x^2-1}{x^2+1}+\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}\)

\(P=-1+\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\ge-1\)

Vậy: GTNN của P là -1 khi \(x\ne1=0\Leftrightarrow x\) vô nghiệm ( vì \(x^2>0\))

2 tháng 2 2017

2)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2ab+2ac+2bc=2\\2a^2+2b^2+2c^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a-b=0\\a-c=0\\b-c=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Từ \(a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow3a^2=1\)

\(\Rightarrow a^2=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow M=a+b+c=3a=3.\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\)

Vậy: \(M=\sqrt{3}\)

Chúc bạn học tốt!!!

16 tháng 8 2017

HELP Toshiro Kiyoshi, Nguyễn Thanh Hằng, Nguyễn Huy Tú, Phương An, Hồng Phúc Nguyễn,....

16 tháng 8 2017

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}P=\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2+2\left(ab+bc+ac\right)\\Q=\left(a+b+c+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P=a^2+a+1+b^2+b+1+c^2+c+1+2ab+2bc+2ac\\Q=a^2+b^2+c^2+1+2ab+2ac+2a+2bc+2b+2c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P-Q=\left(a^2+a+1+b^2+b+1+c^2+c+1+2ab+2bc+2ac\right)\left(a^2+b^2+c^2+1+2ab+2ac+2a+2bc+2b+2c\right)\)

\(\Rightarrow P-Q=a^2+b^2+c^2+a+b+c+3+2ab+2bc+2ac-a^2-b^2-c^2-1-2ab-2ac-2a-2bc-2b-2c\)

\(\Rightarrow P-Q=-a-b-c+2=-\left(a+b+c-2\right)\)

Vậy..............

Chúc bạn học tốt!!!

30 tháng 12 2019

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2\left(1\right)\)

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\left(đpcm\right)\)