Câu hỏi của Phan Minh Thiện

Question

cho $\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2$$\left(a,b,c\ne0\right)$Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}$

Bellion · Accepted Answer

Bài làm :Ta có :$\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2$$\Leftrightarrow2ab+2bc+2ac=0$$\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0$$\Leftrightarrow ab+bc+ac=0$$\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=0$$\Leftrightarrow\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}=0$$\Leftrightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0$$\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\left(1\right)$$\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3$$\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\left(2\right)$Thay (1) vào (2) ; ta được :$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{3}{abc}=-\frac{1}{c^3}$$\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}$=> Điều phải chứng minhCâu trả lời:                       Bài làm :Ta có :$\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2$$\Leftrightarrow2ab+2bc+2ac=0$$\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0$$\Leftrightarrow ab+bc+ac=0$$\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=0$$\Leftrightarrow\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}=0$$\Leftrightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0$$\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\left(1\right)$$\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3$$\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\left(2\right)$Thay (1) vào (2) ; ta được :$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{3}{abc}=-\frac{1}{c^3}$$\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}$=> Điều phải chứng minh

Trí Tiên · Answer

Ta có $\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2$$\Leftrightarrow2ab+2ac+2bc=0$$\Leftrightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=0$$\Leftrightarrow ab+ac+bc=0$Ta lại có giả sử$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}$$\Leftrightarrow\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^3b^3c^3}=\frac{3}{abc}$$\Leftrightarrow\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=3$$\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3.a^2b^2c^2$$\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-3.a^2b^2c^2=0$$\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^3-3ca\left(ab+bc\right)\left(ab+bc+ac\right)-3ab^3c\left(-ac\right)-3a^2b^2c^2=0$$\Leftrightarrow0+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2+0=0$$\Leftrightarrow0=0\left(lđ\right)$Vậy bất đẳng thức được chứng minh Câu trả lời: Ta có $\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2$$\Leftrightarrow2ab+2ac+2bc=0$$\Leftrightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=0$$\Leftrightarrow ab+ac+bc=0$Ta lại có giả sử$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}$$\Leftrightarrow\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^3b^3c^3}=\frac{3}{abc}$$\Leftrightarrow\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=3$$\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3.a^2b^2c^2$$\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-3.a^2b^2c^2=0$$\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^3-3ca\left(ab+bc\right)\left(ab+bc+ac\right)-3ab^3c\left(-ac\right)-3a^2b^2c^2=0$$\Leftrightarrow0+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2+0=0$$\Leftrightarrow0=0\left(lđ\right)$Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP