Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Xét nửa đường tròn (O) đường kính BC có điểm N thuộc (O) => ^CNB = 900
=> ^CNE = 1800 - ^CNB = 900. Xét tứ giác CDNE có:
^CDE = ^CNE = 900 => Tứ giác CDNE nội tiếp đường tròn (đpcm).
2) Ta có điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính BC => ^CMB = 900
=> BM vuông góc CE. Xét \(\Delta\)BEC:
BM vuông góc CE; ED vuông góc BC; BM giao ED tại K => K là trực tâm \(\Delta\)BEC
=> CK vuông góc BE. Mà CN vuông góc BE (Do ^CNB = 900) => 3 điểm C;K;N thẳng hàng (đpcm).
3) Gọi giao điểm của MN với DE là H. Lấy F là trung điểm của EH. BH cắt CF tại điểm P.
Xét tứ giác CMHD: ^CMH = ^CDH = 900 => CMKD nội tiếp đường tròn => ^MCK = ^MDK (1)
Tương tự: ^NBK = ^NDK (2)
Từ (1) & (2) => ^MDK = ^NDK hay ^MDH = ^FDN
Tương tự: ^DMB = ^NMB => ^DMH = 2.^DMB (3)
Dễ thấy tứ giác BDME nội tiếp đường tròn => ^DMB = ^BED (2 góc nt chắn cung BD)
Hay ^DMB = ^NEF. Xét \(\Delta\)ENH vuông tại N: H là trung điểm EH
=> \(\Delta\)NEF cân tại F. Do ^DFN là góc ngoài \(\Delta\)NEF => ^DFN = 2.^NEF
Mà ^DMB = ^NEF (cmt) => ^DFN = 2.^DMB (4)
Từ (3) & (4) => ^DMH = ^DFN. Xét \(\Delta\)DMH và \(\Delta\)DFN:
^DMH = ^DFN ; ^MDH = ^FDN (cmt) => \(\Delta\)DMH ~ \(\Delta\)DFN (g.g)
=> \(\frac{DM}{DF}=\frac{DH}{DN}\)=> \(DH.DF=DM.DN\)(5)
Dễ chứng minh \(\Delta\)CMD ~ \(\Delta\)NBD => \(\frac{DM}{DB}=\frac{DC}{DN}\Rightarrow DM.DN=DB.DC\)(6)
Từ (5) & (6) => \(DH.DF=DB.DC\)\(\Rightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DF}\)
\(\Rightarrow\Delta\)CDH ~ \(\Delta\)FDB (c.g.c) => ^DHC = ^DBF. Mà ^DHC + ^DCH = 900
=> ^DBF + ^DCH = 900 => CH vuông góc BF.
Xét \(\Delta\)CFB: FD vuông góc BC; CH vuôn góc BF; H thuộc FD => H là trực tâm \(\Delta\)CFB
=> BH vuông góc CF (tại P). Ta có nửa đg trong (O) đg kính BC và có ^CPB = 900
=> P thuộc nửa đường tròn (O) => Tứ giác CMPB nội tiếp (O)
=> ^BMP = ^BCP (2 góc nt chắn cung BP) Hay ^HMP = ^DCP
Xét tứ giác CPHD: ^CPH = ^CDH = 900 => ^DCP + ^DHP = 1800
=> ^HMP + ^DHP = 1800 hay ^HMP + ^KHP = 1800 => Tứ giác MPHK nội tiếp đg tròn
=> ^KMH = ^KPH (2 góc nt chắn cung KH) hay ^KMN = ^KPB.
Lại có tứ giác EMKN nội tiếp đg tròn => ^KMN = ^KEN => ^KMN = ^KEB
=> ^KPB = ^KEB => Tứ giác BKPE nội tiếp đg tròn. Mà 3 điểm B;K;E cùng thuộc (I)
=> Điểm P cũng thuộc đg tròn (I) => IP=IB => I thuộc trung trực của BP
Mặt khác: OP=OB => O cũng thuộc trung trực của BP => OI là trung trực của BP
=> OI vuông góc BP. Mà CF vuông góc BP (cmt) => OI // CF (7)
I nằm trên trung trực của EK và F là trung điểm EK => IF vuông góc EK => IF vuông góc d
OC vuông góc d => OC // IF (8)
Từ (7) & (8) => Tứ giác COIF là hình bình hành => IF = OC = R (bk của (O))
=> Độ dài của IF không đổi. Mà IF là khoảng cách từ I đến d (Do IF vuông góc d)
=> I nằm trên đường thẳng d' // d và cách d một khoảng bằng bán kính của nửa đường tròn (O)
Vậy điểm I luôn nằm trên d' cố định song song với d và cách d 1 khoảng = bk nửa đg tròn (O) khi M thay đổi.
Mình chỉ làm câu 3 nên có thể có những đoạn mình chứng minh ở câu 3 sẽ trùng với những phần mà bạn đã chứng minh trước đó rồi. Bạn thông cảm nhé vì mình làm theo mạch suy nghĩ của mình !!!
Giải
Xét đt ngoại tiếp \(\Delta RMQ\)có: \(\widehat{MFR}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đt) => \(MF\perp NR\)
Ta có MFRQ là tứ giác nội tiếp (do M,F,R,Q cùng thuộc một đường tròn) => \(\widehat{MRF}=\widehat{ERN}=\widehat{MQF}=\widehat{PQS}=45^o\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{MF}\) )
Mà \(\widehat{ESN}=\widehat{QSP}=45^o\)=> \(\widehat{ERN}=\widehat{ESN}\)=> Tứ giác NSRE nội tiếp (DHNB) => \(\widehat{NER}=180^o-\widehat{NSR}=180^o-\widehat{PSR}=180^o-90^o=90^o\)=> \(NE\perp MR\)
\(\Delta RMN\)có 2 đường cao MF và NE . Gọi H là giao điểm của MF và NE => RH là đường cao thứ 3 của \(\Delta RMN\)=> \(RH\perp MN\)tại K \((K\in MN)\)=> \(\widehat{KRM}=\widehat{ENM}\)(góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Xét tứ giác NFEM có: \(\widehat{NEM}=\widehat{NFM}=90^o\)=> tứ giác NFEM là tứ giác nội tiếp (DHNB) => \(\widehat{ENM}=\widehat{EFM}\)(cùng chắn \(\widebat{ME}\)) mà \(\widehat{EFM}=\widehat{QFM}=\widehat{QRM}\)(Do tứ giác MFRQ nội tiếp) => \(\widehat{KRM}=\widehat{ENM}=\widehat{QRM}\)
Xét 2 tam giác vuông KRM và QRM có:
+ \(\widehat{KRM}=\widehat{QRM}\)(Cmt)
+ MR chung
=> \(\Delta\)vuông KRM = \(\Delta\)vuông QRM (cạnh huyền - góc nhọn)
=> MK = MQ
Chứng minh tương tự: 2 tam giác vuông KRN và SRN bằng nhau => NK = NS
Do K nằm trong đoạn MN => MN = MK + NK = MQ + NS (Đpcm)
hay thật thế mà mình éo nghĩ ra