Question

[hoa nguyễn thị hoa]

Cho hình vuông ABCD M là trung điểm cạnh BC. trên cạnh CD lấy điểm N sao cho NC=2ND. gọi K là giao điểm của AN với BD và O là tâm của hình vuông. Chứng minh KO=KD

Gọi E là trung điểm của OA chứng minh BE vuông góc với KA

Chúng minh KMN là tam giác vuông

Answer 1

[Trần Quốc Khanh]

a/Gọi I là tđ NC, lại có O là tđ AC \(\Rightarrow\)OI//AN

Ta có NI=IC=1/2NC=DN mà AN//OI nên K là tđ OD

b/ Cho BE giao AD tại F, kẻ OG //EF ( G thuộc AD)

Ta có OG//EF, E là tđ OA suy ra F là tđ AG(1)

Lại có O là tđ BD, OG//BF suy ra G là tđ DF(2)

Từ (1) và (2) suy ra DF=2/3 AD

Lại có NC=2/3 CD và AD=CD nên NC=DF

Xét \(\Delta ACN\&\Delta BDF\) có AC=BD, NC=DF, \(\widehat{ACN}=\widehat{BDF}=45\)( ABCD là h/vuông)

Suy ra \(\Delta ACN=\Delta BDF\Rightarrow\widehat{DBF}=\widehat{CAN}\)

Cho EF giao AN tại H, tgia AKO và BKH có góc K chung, \(\widehat{DBF}=\widehat{CAN}\Rightarrow\widehat{AOK}=\widehat{BHK}=90\)

Suy ra BE vuông góc AK tại H

c/

Answer 2

[Trần Quốc Khanh]

c/Có \(\frac{BM}{NC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{2}{3}CD}=\frac{3}{4}\left(1\right)\)( vì BC=CD)

Ta có AB//CD nên \(\frac{BK}{DK}=\frac{AB}{DN}=\frac{DC}{DN}=3\Rightarrow\frac{DK}{BK}+1=\frac{1}{3}+1\Leftrightarrow\frac{DB}{BK}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow\frac{AC}{BK}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow\frac{BK}{AC}=\frac{3}{4}\left(2\right)\)

(1)=(2) nên \(\frac{BM}{NC}=\frac{BK}{AC}\)(3)

Xét \(\Delta ANC\sim\Delta KMB\left(\widehat{ACN}=\stackrel\frown{DBC},\left(3\right)\right)\Rightarrow\widehat{ANC}=\widehat{KMB}\)

Tứ giác HNCB có góc H và C vuông nên góc HNC+HBC=180(4)

\(\Leftrightarrow\widehat{KMB}+\widehat{HBC}=180\Rightarrow\widehat{HKM}=90\left(\widehat{KHB}=90\right)\)