Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tự vẽ hình:
a) ta có: Nx là tiếp tuyến => \(\widehat{PNO}=90\)
d\(⊥\)AB=> \(\widehat{OMP}=90\)
=> tứ giác OMNP nội tiếp
b) Ta có: CO II MP ( cùng vuông góc với AB)
Tứ giác OMNP nội tiếp => \(\widehat{OPM}=\widehat{ONM}\) (1)
Tam giác cân OCN ( OC=ON=R) có: \(\widehat{OCN}=\widehat{ONM}\) (2)
Từ (1), (2) => \(\widehat{OPM}=\widehat{OCM}\)(**)
Từ (*), (**) => OCMP là hình bình hành
c) Xét \(\Delta OCN\)là tam giác cân
và \(\Delta MCD\)là tam giác cân ( do C,D đối xứng nhau qua AB) có chung góc C
=> \(\Delta OCN\)đồng dạng \(\Delta MCD\)
=>\(\frac{CN}{CD}=\frac{OC}{CM}\Rightarrow CN.CM=OC.CD=2R^2=const\)
Vậy CN.CM không đổi (ĐPCM)
1) Xét nửa đường tròn (O) đường kính BC có điểm N thuộc (O) => ^CNB = 900
=> ^CNE = 1800 - ^CNB = 900. Xét tứ giác CDNE có:
^CDE = ^CNE = 900 => Tứ giác CDNE nội tiếp đường tròn (đpcm).
2) Ta có điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính BC => ^CMB = 900
=> BM vuông góc CE. Xét \(\Delta\)BEC:
BM vuông góc CE; ED vuông góc BC; BM giao ED tại K => K là trực tâm \(\Delta\)BEC
=> CK vuông góc BE. Mà CN vuông góc BE (Do ^CNB = 900) => 3 điểm C;K;N thẳng hàng (đpcm).
3) Gọi giao điểm của MN với DE là H. Lấy F là trung điểm của EH. BH cắt CF tại điểm P.
Xét tứ giác CMHD: ^CMH = ^CDH = 900 => CMKD nội tiếp đường tròn => ^MCK = ^MDK (1)
Tương tự: ^NBK = ^NDK (2)
Từ (1) & (2) => ^MDK = ^NDK hay ^MDH = ^FDN
Tương tự: ^DMB = ^NMB => ^DMH = 2.^DMB (3)
Dễ thấy tứ giác BDME nội tiếp đường tròn => ^DMB = ^BED (2 góc nt chắn cung BD)
Hay ^DMB = ^NEF. Xét \(\Delta\)ENH vuông tại N: H là trung điểm EH
=> \(\Delta\)NEF cân tại F. Do ^DFN là góc ngoài \(\Delta\)NEF => ^DFN = 2.^NEF
Mà ^DMB = ^NEF (cmt) => ^DFN = 2.^DMB (4)
Từ (3) & (4) => ^DMH = ^DFN. Xét \(\Delta\)DMH và \(\Delta\)DFN:
^DMH = ^DFN ; ^MDH = ^FDN (cmt) => \(\Delta\)DMH ~ \(\Delta\)DFN (g.g)
=> \(\frac{DM}{DF}=\frac{DH}{DN}\)=> \(DH.DF=DM.DN\)(5)
Dễ chứng minh \(\Delta\)CMD ~ \(\Delta\)NBD => \(\frac{DM}{DB}=\frac{DC}{DN}\Rightarrow DM.DN=DB.DC\)(6)
Từ (5) & (6) => \(DH.DF=DB.DC\)\(\Rightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DF}\)
\(\Rightarrow\Delta\)CDH ~ \(\Delta\)FDB (c.g.c) => ^DHC = ^DBF. Mà ^DHC + ^DCH = 900
=> ^DBF + ^DCH = 900 => CH vuông góc BF.
Xét \(\Delta\)CFB: FD vuông góc BC; CH vuôn góc BF; H thuộc FD => H là trực tâm \(\Delta\)CFB
=> BH vuông góc CF (tại P). Ta có nửa đg trong (O) đg kính BC và có ^CPB = 900
=> P thuộc nửa đường tròn (O) => Tứ giác CMPB nội tiếp (O)
=> ^BMP = ^BCP (2 góc nt chắn cung BP) Hay ^HMP = ^DCP
Xét tứ giác CPHD: ^CPH = ^CDH = 900 => ^DCP + ^DHP = 1800
=> ^HMP + ^DHP = 1800 hay ^HMP + ^KHP = 1800 => Tứ giác MPHK nội tiếp đg tròn
=> ^KMH = ^KPH (2 góc nt chắn cung KH) hay ^KMN = ^KPB.
Lại có tứ giác EMKN nội tiếp đg tròn => ^KMN = ^KEN => ^KMN = ^KEB
=> ^KPB = ^KEB => Tứ giác BKPE nội tiếp đg tròn. Mà 3 điểm B;K;E cùng thuộc (I)
=> Điểm P cũng thuộc đg tròn (I) => IP=IB => I thuộc trung trực của BP
Mặt khác: OP=OB => O cũng thuộc trung trực của BP => OI là trung trực của BP
=> OI vuông góc BP. Mà CF vuông góc BP (cmt) => OI // CF (7)
I nằm trên trung trực của EK và F là trung điểm EK => IF vuông góc EK => IF vuông góc d
OC vuông góc d => OC // IF (8)
Từ (7) & (8) => Tứ giác COIF là hình bình hành => IF = OC = R (bk của (O))
=> Độ dài của IF không đổi. Mà IF là khoảng cách từ I đến d (Do IF vuông góc d)
=> I nằm trên đường thẳng d' // d và cách d một khoảng bằng bán kính của nửa đường tròn (O)
Vậy điểm I luôn nằm trên d' cố định song song với d và cách d 1 khoảng = bk nửa đg tròn (O) khi M thay đổi.
Tham khảo câu a , c
https://h.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=194717854380&q=cho%20%C4%91i%C3%AA%CC%89m%20M%20di%20%C4%91%C3%B4%CC%A3ng%20tr%C3%AAn%20%C4%91oa%CC%A3n%20th%C4%83%CC%89ng%20AB.%20Tr%C3%AAn%20cu%CC%80ng%20m%C3%B4%CC%A3t%20n%C6%B0%CC%89a%20m%C4%83%CC%A3t%20ph%C4%83%CC%89ng%20b%C6%A1%CC%80%20AB%20ve%CC%83%20ca%CC%81c%20hi%CC%80nh%20vu%C3%B4ng%20AMCD%2C%20BMEF.%C2%A0a%29%20CMR%20AE%20vu%C3%B4ng%20go%CC%81c%20BCb%29%20Go%CC%A3i%20H%20la%CC%80%20giao%20di%C3%AA%CC%89m%20cu%CC%89a%20AE%20va%CC%80%20BC.%20Ch%C6%B0%CC%81ng%20minh%20D%2CH%2CF%20th...