Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét \(\Delta ABC\)có:
\(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\)(định lí).
\(\Rightarrow\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=180^0-\widehat{ACB}\).
Xét \(\Delta PAB\)có:
\(\widehat{APB}+\widehat{PAB}+\widehat{ABP}=180^0\)(định lí).
\(\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\left(\widehat{PAB}+\widehat{ABP}\right)\).
\(\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\frac{\widehat{BAC}+\widehat{ABC}}{2}\).
\(\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\frac{180^0-\widehat{ACB}}{2}\).
\(\Rightarrow\widehat{APB}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\)(điều phải chứng minh).
Ta lại có:
\(\widehat{AMP}=\widehat{MPC}+\widehat{MCP}\)(tính chất góc ngoài của \(\Delta MPC\)).
\(\Rightarrow\widehat{AMP}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\).
Do đó \(\widehat{APB}=\widehat{AMP}\left(=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\right)\).
Xét \(\Delta MAP\)và \(\Delta PAB\)có:
\(\widehat{AMP}=\widehat{APB}\)(chứng minh trên).
\(\widehat{MAP}=\widehat{PAB}\)(giả thiết).
\(\Rightarrow\Delta MAP~\Delta PAB\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\frac{AP}{AB}=\frac{AM}{AP}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AB.AM=AP.AP=AP^2\)(điều phải chứng minh).
c) ΔFNA~ΔFDC => \(\frac{S_{FNA}}{S_{FDC}}=\frac{AN^2}{DC^2}\) (1)
ΔAMC~ΔFDC => \(\frac{S_{AMC}}{S_{FDC}}=\frac{MC^2}{DC^2}\) (2)
Ta cũng có AN = DM (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có : \(S^2_{FDC}=\frac{S_{FNA}.S_{AMC}.CD^4}{MD^2.MC^2}=S_{FNA}.S_{AMC}.\frac{\left(MD+MC\right)^4}{MD^2.MC^2}\)
\(\ge16.S_{FNA}.S_{AMC}\) (Áp dụng BĐT Cauchy)
~ Học tốt nha bạn ~
a: Xét ΔACH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có
góc C chung
Do đó: ΔACH\(\sim\)ΔBCA
b: \(BC=\sqrt{20^2+15^2}=25\left(cm\right)\)
\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=12\left(cm\right)\)
a) Xét \(\Delta BAE\)và \(\Delta DAF\)có:
\(AB=AD\)(vì \(ABCD\)là hình vuông).
\(\widehat{BAE}=\widehat{DAF}\)(cùng phụ với \(\widehat{DAE}\)).
\(\widehat{ABE}=\widehat{ADF}\left(=90^0\right)\).
\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta DAF\left(g.c.g\right)\).
\(\Rightarrow AE=AF\)(2 cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh).
Vì \(Ax\perp AE\)(giả thiết).
\(\Rightarrow AF\perp AE\).
\(\Rightarrow\Delta AFE\)vuông tại \(A\).
Và có \(AE=AF\)(theo câu a)).
\(\Rightarrow\Delta AFE\)vuông cân tại \(A\).
Có trung tuyến \(AI\)ứng với cạnh huyền \(FE\).
\(AI\)đồng thời là đường cao của \(FE\).
\(\Rightarrow AI\perp FE\).
\(\Rightarrow GK\perp FE\).
Vì \(EG//AB\)(giả thiết).
\(\Rightarrow EG//CD\)(vì \(AB//CD\)do \(ABCD\)là hình vuông).
\(\Rightarrow GE//FK\).
\(\Rightarrow\widehat{GEF}=\widehat{KFE}\)(2 góc ở vị trí so le trong).
\(\Rightarrow\widehat{GEI}=\widehat{KFI}\).
Xét \(\Delta IGE\)và \(\Delta IKF\)có:
\(\widehat{GIE}=\widehat{KIF}\)(vì đối đỉnh).
\(IE=IF\)(giả thiết).
\(\widehat{GEI}=\widehat{KFI}\)(chứng minh trên).
\(\Rightarrow\Delta IGE=\Delta IKF\left(g.c.g\right)\).
\(\Rightarrow GI=KI\)(2 cạnh tương ứng).
Do đó \(I\)là trung điểm của \(GK\).
Xét tứ giác \(GEKF\)có:
2 đường chéo \(EF\)và \(GK\)cắt nhau tại \(I\).
Và \(I\)vừa là trung điểm của \(FE\), vừa là trung điểm của \(GK\).
\(\Rightarrow GEKF\)là hình bình hành.
Mà \(GK\perp FE\)(chứng minh trên).
\(\Rightarrow GEKF\)là hình thoi (điều phải chứng minh).