Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C O O D P G E H F O 1 2 3 K
Gọi DA cắt (O3( tại G khác A, GP cắt FD tại K. Giao điểm thứ hai của BD và (BAF) là H.
Ta có ^APG = ^AEG = ^AFK => Tứ giác APKF nội tiếp => K thuộc (BAF)
Dễ thấy: ^AFK = ^AED = ^ABH = ^AFH => (AK(BAF) = (AH(BAF) => ^KBA = ^HFE.
Chứng minh được \(\Delta\)FDE ~ \(\Delta\)ADB (g.g) suy ra \(\frac{AB}{FE}=\frac{AD}{DF}=\frac{BD}{DF}=\frac{BK}{FH}\)
Từ đây có \(\Delta\)AKB ~ \(\Delta\)EHF (c.g.c) cho nên ^BAK = ^FEH = ^BFK. Do ^AFK = ^AED nên ^AFB = ^DEH
Kết hợp với ^HDE = 1800 - ^BDE = 1800 - ^BAE = ^BAF dẫn đến \(\Delta\)DEH ~ \(\Delta\)AFB (g.g)
=> \(\frac{HE}{BF}=\frac{DE}{AF}\). Lại có \(\Delta\)DGE ~ \(\Delta\)ACF (g.g) => \(\frac{DE}{AF}=\frac{GE}{CF}\). Suy ra \(\frac{HE}{BF}=\frac{GE}{CF}\)(*)
Mặt khác ta có biến đổi góc ^GEH = ^GED - ^DEH = ^AFC - ^AFB = ^CFB. Từ đó kết hợp với (*) ta thu được:
\(\Delta\)EGH ~ \(\Delta\)FCB (c.g.c) => ^EGH = ^FCB. Mà ^EGD = ^ACF nên ^DGH = ^ACB.
Khi đó dễ dàng chỉ ra \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)DGH (g.g) => \(\Delta\)DGH cân tại D => ^DGH = ^DHG
Ta thấy ^DGP = ^BAP = ^DGH => Tứ giác PGHD nội tiếp. Từ đây ^DPK = ^DHG = ^DGH = ^DPH
Do đó PD là phân giác ^KPH. Chú ý ^APG = ^AEG = ^AFD = ^ABH = ^APH => PA là phân giác ^HPG
Mà ^KPH và ^HPG kề bù nên PA vuông góc PD hay ^APD = 900 (đpcm).
O O O N P H Q M 1 2 3
Do ba đường tròn (O1);(O2);(O3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau nên p(O1O2O3) = 5 + 7+ 9 = 21
Áp dụng công thức Hê-rông cho \(\Delta\)O1O2O3 ta có:
\(S_{O_1O_2O_3}=\sqrt{21\left(21-12\right)\left(21-16\right)\left(21-14\right)}=21\sqrt{15}\)
Và ta tính được \(O_3H=\frac{2S_{O_1O_2O_3}}{O_1O_2}=\frac{2.21\sqrt{15}}{5+7}=\frac{7\sqrt{15}}{2}\)
Áp dụng ĐL Pytagoras cho \(\Delta\)O2HO3: \(O_2H=\sqrt{O_2O_3^2-O_3H^2}=\sqrt{\left(7+9\right)^2-\left(\frac{7\sqrt{15}}{2}\right)^2}=\frac{17}{2}\)
Suy ra \(HM=O_2H-O_2M=\frac{17}{2}-5=\frac{7}{2}\)
Từ O3 hạ O3Q vuông góc với PN. Khi đó NP = 2PQ và tứ giác HMQO3 là hình chữ nhật
Áp dụng ĐL Pytagoras ta có \(PQ=\sqrt{O_3P^2-O_3Q^2}=\sqrt{7^2-HM^2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}\)
Do vậy \(NP=2PQ=7\sqrt{3}\). Kết luận \(NP=7\sqrt{3}.\)
A B M C O O 1 2 O I E D N
a) Có ^AO1O2 = ^AO1M/2 = 1/2.Sđ(AM của (O1) = ^ABM = ^ABC. Tương tự ^AO2O1 = ^ACB
Suy ra \(\Delta\)AO1O2 ~ \(\Delta\)ABC (g.g) (đpcm).
b) Từ câu a ta có \(\Delta\)AO1O2 ~ \(\Delta\)ABC. Hai tam giác này có đường trung tuyến tương ứng AO,AI
Khi đó \(\Delta\)AOO1 ~ \(\Delta\)AIB (c.g.c) => \(\frac{AO}{AO_1}=\frac{AI}{AB}\). Đồng thời ^OAI = ^O1AB
=> \(\Delta\)AOI ~ \(\Delta\)AO1B (c.g.c). Mà \(\Delta\)AO1B cân tại O1 nên \(\Delta\)AOI cân tại O (đpcm).
c) Xét đường tròn (O1): ^DAM nội tiếp, ^DAM = 900 => DM là đường kính của (O1)
=> ^DBM = 900 => DB vuông góc với BC. Tương tự EC vuông góc với BC
Do vậy BD // MN // CE. Bằng hệ quả ĐL Thales, dễ suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{MB}{MC}\)(1)
Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có \(\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{AB}{AC}\)=> ND.AC = NE.AB (đpcm).
https://www.youtube.com/watch?v=i0dZukEw1JY
Có công thức tổng quát luôn
B C D E K O2 O1 O3 A
Gọi các điểm như hình vẽ. Đơn vị mình sẽ không ghi.
Đặt \(O_3D=r\)
\(O_2B=O_2C-BC=3-r\)
\(O_2O_3=3+r\)
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông O2BO3
\(BO_3=\sqrt{O_2O_3^2-O_2B^2}=\sqrt{\left(3+r\right)^2-\left(3-r\right)^2}=2\sqrt{3r}\)
Tương tự ở tam giác vuông O3KO1,\(O_1K=4-r\),\(O_1O_3=4+r\)=> \(O_3K=4\sqrt{r}\)
\(CE=CD+DE=BO_3+KO_3=\sqrt{r}\left(2\sqrt{3}+4\right)=O_1A\)
\(O_1O_2=3+4=7\)
\(O_2A=4-3=1\)
Áp dụng Pytago vào tam giác vuông O1O2A: \(7^2=1^2+r\left(2\sqrt{3}+4\right)^2\)
Giải ra ta được r = \(84-48\sqrt{3}\)
\(S_{O_2O_3B}=\frac{O_2B.O_3B}{2}=\frac{\left(3-r\right)2\sqrt{3r}}{2}\approx3,438\)
\(S_{O_1O_3K}=\frac{\left(4-r\right)4\sqrt{r}}{2}\approx5,826\)
\(S_{O_1O_2A}=\frac{\sqrt{r}\left(2\sqrt{3}+4\right)}{2}\approx3,464\)
\(S_{AO_1KB}=AO_1.O_1K=\left(\sqrt{r}\left(2\sqrt{3}+4\right)\right)\left(4-r\right)\approx21,282\)
Vậy \(S_{O_1O_2O_3}\approx21,282-\left(3,438+5,826+3,464\right)=8,554\)