Question

[Vũ Khánh Huyền]

Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi H là trung điểm AB, đường trung trực của AB cắt AC, BD lần lượt tại M, N.a) CMR: AB2=4.HM.HN=2.AO.AM 

giúp mình với

Answer 1

[Vũ Khánh Huyền]

giúp mình,mình cần gấp

Answer 2

[Trần Tuấn Hoàng]

- Xét hình thoi \(ABCD\) ta có:

Hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\) (gt).

\(\Rightarrow AC\perp BD\) tại \(O\).

-Ta có: \(\widehat{HAM}+\widehat{AMH}=90^0\)(\(\Delta AHM\) vuông tại \(H\)).

\(\widehat{BNH}+\widehat{OMN}=90^0\)(\(\Delta MON\) vuông tại \(O\))

Mà \(\widehat{AMH}=\widehat{OMN}\)(đôi đỉnh).

=>\(\widehat{HAM}=\widehat{BNH}\).

- Xét \(\Delta NBH\) và \(\Delta AMH\) ta có:

\(\widehat{BHN}=\widehat{AHM}=90^0\)..

\(\widehat{HAM}=\widehat{BNH}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta NBH\) ∼\(\Delta AMH\) (g-g).

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BH}{HM}=\dfrac{HN}{AH}\)(2 tỉ lệ tương ứng).

\(\Rightarrow BH.AH=HN.HM\).

Mà \(AH=BH=\dfrac{1}{2}AB\) (\(H\) là trung điểm \(AB\)).

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}AB=HN.HM\)

\(\Rightarrow AB^2=4HM.HN\). \(\left(1\right)\)

- Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta AMH\) ta có:

\(\widehat{AOB}=\widehat{AHM}=90^0\)..

\(\widehat{A}\) là góc chung

\(\Rightarrow\) \(\Delta ABO\) ∼\(\Delta AMH\) (g-g).

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AO}{AH}=\dfrac{AB}{AM}\)(2 tỉ lệ tương ứng).

\(\Rightarrow AB.AH=AO.AM\).

Mà \(AH=\dfrac{1}{2}AB\) (\(H\) là trung điểm \(AB\)).

\(\Rightarrow AB.\dfrac{1}{2}AB=AO.AM\)

\(\Rightarrow AB^2=2HM.HN\) \(\left(2\right)\).

-Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(AB^2=4.HM.HN=2.AO.AM\)