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Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\)
\(=2\overrightarrow{CD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\) (do \(\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\))
\(=\frac{3}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|^2=\frac{9}{4}CD^2+DA^2+3\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{DA}=\frac{9}{4}CD^2+DA^2=\frac{13}{4}DA^2\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\frac{\sqrt{13}}{2}DA=3\sqrt{13}\)
Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=3.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) (do \(\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{AB}\))
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|^2=\left(3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)^2=9AB^2+AD^2+6\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=9AB^2+AD^2=10AB^2\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=AB\sqrt{10}=2\sqrt{10}\)
a.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\)
VT:\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\)
=\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\)
=\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=0\left(đpcm\right)\)
b.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\left(LĐ\right)\)
a) Chữa đề: \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{NM}\)
\(Ta\text{ }có:\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\\ =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}+\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}\)
\(\)\(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}\\ =2\overrightarrow{CM}+2\overrightarrow{NC}=2\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}\right)=2\overrightarrow{NM}\)
Vậy \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{NM}\)
\(\text{b) }\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=-\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\\ =-\left[\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\right]\\ =-\left(2\overrightarrow{DM}+2\overrightarrow{CM}\right)=2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}\right)=4\left(\overrightarrow{MN}\right)\)
\(\text{c) }2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =2\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\right)+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}\right)\right]\\ =2\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{NI}\right]=2\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NI}\right)\)
Mà IN là dường trung bình \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IN//BD\\IN=\frac{1}{2}BD\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\\ \Rightarrow2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =2\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NI}\right)=2\left(\overrightarrow{DB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\right)=2\cdot\frac{3}{2}\overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DB}\)
Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+2\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=3\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{CD}\) (do \(2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}\))
\(=2\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=2AC=2\sqrt{AD^2+CD^2}=4\sqrt{5}\)