Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Định lí 1 : Nếu tam giác vuông có một góc bằng \(30^0\)thì cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa cạnh huyền
Vì \(DP\perp AB\)(giả thiết) \(\Rightarrow\Delta PAD\)vuông tại P
\(\Delta PAD\)vuông tại P có \(\widehat{DAP}=60^0\)(giả thiết)
\(\Rightarrow\widehat{PDA}=30^0\)
Do đó \(2PA=DA\)(định lí 1)
\(\Rightarrow4PA^2=DA^2\)
Vì \(\Delta PAD\)vuông tại P (chứng minh trên)
\(\Rightarrow PA^2+PD^2=AD^2\)(định lí Py-ta-go)
\(\Rightarrow PA^2+4^2=4PA^2\)(thay số)
\(\Rightarrow4PA^2-PA^2=16\)
\(\Rightarrow3PA^2=16\)
\(\Rightarrow PA^2=\frac{16}{3}\Rightarrow PA=\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\left(cm\right)\)(vì \(PA>0\))
Do đó: \(DA=2PA=2.\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}\left(cm\right)\)
Vì \(CH\perp AB\)(giả thiết)
\(\Rightarrow\Delta CHB\)vuông tại H.
\(\Delta CHB\)vuông tại H có \(\widehat{HCB}=60^0\)(giả thiết)
\(\Rightarrow BC=2HC\)(định lí 1)
\(\Rightarrow BC=2.4\)(thay số)
\(\Rightarrow BC=8\left(cm\right)\)
Vì \(\Delta CHB\)vuông tại H (chứng minh trên)
\(\Rightarrow HB^2+HC^2=BC^2\)(định lí Py-ta-go)
\(\Rightarrow HB^2+4^2=8^2\)(thay số)
\(\Rightarrow HB^2+16=64\)
\(\Rightarrow HB^2=56\Rightarrow HB=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\left(cm\right)\)(vì \(HB>0\))
Mặt khác, xét tứ giác DCHP có:
\(DP//CH\)(vì cùng vuông góc với AB)
Và \(DP=CH\)(giả thiết)
\(\Rightarrow\)DCHP là hình bình hành
\(\Rightarrow CD=PH=3\left(cm\right)\)(tính chất).
Ta có:
\(AB=AP+PH+HB\)
\(\Rightarrow AB=\frac{4}{\sqrt{3}}+3+2\sqrt{14}\left(cm\right)\)
Do đó:
\(P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=\)\(\frac{4}{\sqrt{3}}+3+2\sqrt{14}+8+3+\frac{8}{\sqrt{3}}\)(thay số)
\(P_{ABCD}=\frac{12}{\sqrt{3}}+14+2\sqrt{14}=4\sqrt{3}+2\sqrt{14}+14\left(cm\right)\)
Vậy \(P_{ABCD}=4\sqrt{3}+2\sqrt{14}+14\left(cm\right)\)
C D B A H N M
a) Kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB )
Ta có : \(BH=\frac{AB-CD}{2}=\frac{30-10}{2}=10\left(cm\right)\)
Ta lại có :
\(\cos\widehat{B}=\frac{BH}{BC}\)
\(\Rightarrow BC=\frac{10}{\cos60^o}\)
Vì cos 60o = \(\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow BC=10.2=20\left(cm\right)\)
b) Vì ABCD là hình thang cân
M , N lần lượt là trung điểm của AB , Cd
=>MN vuông góc với CD và AB
=> MN = CH
Theo định lí py-ta-go ta có : \(CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}\left(cm\right)\)
=> MN = \(10\sqrt{3}\)