Question

[Nguyễn Thu Trang]

Cho hình thang ABCD (AB // CD) , hai đường chéo cắt nhau tại O . Trên đáy CD lấy E và F sao cho OE // AD ; OF // BC . Chứng minh S ODE = S OCF .

Answer 1

[Trần Quốc Khanh]

AB//CD theo Thales có:

\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\Leftrightarrow\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{OA+OC}{OB+OD}=\frac{AC}{BD}\Rightarrow\frac{OC}{AC}=\frac{OD}{BD}\left(1\right)\)

OE//AD nên \(\frac{OC}{AC}=\frac{CE}{CD}\left(2\right)\) và OF//BC nên \(\frac{OD}{BD}=\frac{DF}{DC}\left(3\right)\)

(1),(2) và (3) có: \(\frac{CE}{CD}=\frac{DF}{CD}\Rightarrow CE=DF\Leftrightarrow CF+EF=DE+EF\Leftrightarrow CF=DE\)

Suy ra \(S_{ODE}=S_{OCF}\) ( chung đỉnh nên cùng chiều cao và 2 đáy bằng nhau)

Answer 2

[Đào Thu Hiền]

Xét ΔOCD có AB//CD (gt), theo đ/lí Ta-lét có: \(\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD}\left(1\right)\)

Xét ΔADC có OE//AD (gt), theo đ/lí Ta-lét có: \(\frac{OA}{AC}=\frac{DE}{DC}\left(2\right)\)

Xét ΔBCD có OF//BC (gt), theo đ/lí Ta-lét có: \(\frac{OB}{BD}=\frac{CF}{CD}\left(3\right)\)

Từ (1), (2), (3) => \(\frac{DE}{CD}=\frac{CF}{CD}\) => DE = CF

=> S_ODE = S_OCF (2 Δ có chung đường cao hạ từ O, đáy DE = CF)