Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
11.
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\) AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}=\varphi\)
\(AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=a\sqrt{13}\)
\(tan\varphi=\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{13}}{13}\)
12.
Hai vecto \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{EF}\) song song cùng chiều
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG}\right)=\left(\overrightarrow{EF};\overrightarrow{EG}\right)=\widehat{GEF}=45^0\)
8.
Qua O có 1 và chỉ 1 mặt phẳng vuông góc \(\Delta\)
9.
Gọi O là tâm tam giác BCD
\(\Rightarrow AO\perp\left(BCD\right)\Rightarrow AO\perp CD\)
Mà \(CD\perp BO\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)
\(\Rightarrow CD\perp\left(ABO\right)\Rightarrow CD\perp AB\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0\)
10.
\(AB\perp AD\Rightarrow\widehat{BAD}=90^0\)
\(\overrightarrow{u}^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=a^2+b^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2a^2-2a^2.cos60^0=a^2\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=a\)
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=a^2-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a^2-a^2.cos60^0=\frac{a^2}{2}\)
\(\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{u}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{u}\right)=60^0\)
Phương trình dạng tổng quát của \(d_1\): \(x+3y-7=0\)
Phương trình dạng tổng quát của \(d_2\): \(x-3y+2=0\)
a/ Gọi M là 1 điểm bất kì thuộc \(d_1\Rightarrow x_M+3y_M-7=0\) (1)
Gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{a}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=x_{M'}-1\\y_M=y_{M'}-1\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1): \(x_{M'}-1+3\left(y_{M'}-1\right)-7=0\)
\(\Leftrightarrow x_{M'}+3y_{M'}-11=0\)
Vậy ảnh của \(d_1\) có pt: \(x+3y-11=0\)
Gọi \(M_2\) là 1 điểm bất kì thuộc \(d_2\Rightarrow x_{M_2}-3y_{M_2}+2=0\)
Gọi M'' là ảnh của \(M_2\) qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{a}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M2}=x_{M''}-1\\y_{M2}=y_{M''}-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_{M''}-1-3\left(y_{M''}-1\right)+2=0\Leftrightarrow x_{M''}-3y_{M''}+4=0\)
Ảnh của d2 là: \(x-3y+4=0\)
b/ \(\Rightarrow I\left(5;-6\right)\)
Gọi M là 1 điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow4x_M-2y_M+3=0\) (1)
Gọi M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=10-x_{M'}\\y_M=-12-y_{M'}\end{matrix}\right.\)
Thế vào (1): \(4\left(10-x_{M'}\right)-2\left(-12-y_{M'}\right)+3=0\)
\(\Rightarrow4x_{M'}-2y_{M'}-67=0\)
Hay ảnh của d qua phép đối xứng tâm I có pt: \(4x-2y+67=0\)
- Tương tự, gọi \(M_1\) là 1 điểm bất kì thuộc \(d_1\Rightarrow x_{M1}+3y_{M1}-7=0\)
\(M_1'\) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M1}=10-x_{M_1'}\\y_{M1}=-12-y_{M_1'}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow10-x_{M_1'}+3\left(-12-y_{M_1'}\right)-7=0\)
\(\Leftrightarrow x_{M_1'}+3y_{M_1'}+33=0\)
Ảnh của d1 là: \(x+3y+33=0\)
Ảnh của d2 bạn tự làm nốt tương tự
1/ \(\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{AD}^2=\overrightarrow{BC}^2-\overrightarrow{CD}^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BD}\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right)\)
Gọi M là trung điểm BD
\(\Rightarrow2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{DB}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{DB}.\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{CM}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=0\)
2/ \(A=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\Rightarrow A^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)
\(=a^2+b^2-2ab.cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=4^2+5^2-2.4.5.cos120^0=61\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{61}\)
b/ \(B=\left|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\Rightarrow B^2=4a^2+b^2+4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)
\(=4a^2+b^2+4ab.cos120^0=49\)
\(\Rightarrow B=7\)
3/ \(\left|\overrightarrow{x}\right|=\left|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|\Rightarrow\left|\overrightarrow{x}\right|^2=a^2+4b^2-4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=12\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{x}\right|=2\sqrt{3}\)
\(\left|\overrightarrow{y}\right|^2=a^2+b^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=5\Rightarrow\left|\overrightarrow{y}\right|=\sqrt{5}\)
\(\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}=\left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=a^2+2b^2-3\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4\)
\(\Rightarrow cos\alpha=\frac{\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}}{\left|\overrightarrow{x}\right|.\left|\overrightarrow{y}\right|}=\frac{4}{2\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}\)
16.
Đặt cạnh của đáy là x
\(DM=\sqrt{AD^2+AM^2}=\sqrt{x^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\frac{x\sqrt{5}}{2}\)
\(CM=\sqrt{BC^2+BM^2}=\sqrt{x^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\frac{x\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow DM=CM\Rightarrow\Delta_vSMD=\Delta_vSMC\)
\(\Rightarrow SC=SD=2a\sqrt{5}\)
Mà \(SM\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCM}\) là góc giữa SC và (ABCD) \(\Rightarrow\widehat{SCM}=60^0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CM=SC.cos60^0=a\sqrt{5}\\SM=SC.sin60^0=a\sqrt{15}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB=x=\frac{2CM}{\sqrt{5}}=2a\)
Gọi N là trung điểm CD \(\Rightarrow CD\perp\left(SMN\right)\)
\(AM//CD\Rightarrow AM//\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(M;\left(SCD\right)\right)\)
Từ M kẻ \(MM\perp SN\Rightarrow MH\perp\left(SCD\right)\Rightarrow MH=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)
\(MN=AB=2a\)
\(\frac{1}{MH^2}=\frac{1}{SM^2}+\frac{1}{MN^2}\Rightarrow MH=\frac{SM.MN}{\sqrt{SM^2+MN^2}}=\frac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{19}}\)
14.
Do \(\widehat{C'BC}\) là góc giữa (ABCD) và (ABC') nên \(\widehat{C'BC}=60^0\)
\(\Rightarrow CC'=BC.tan60^0=a\sqrt{3}\)
15.
Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow OH\perp BC\)
Chóp tứ giác đều \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp BC\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(SOH\right)\)
Từ O kẻ \(OK\perp SH\Rightarrow OK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow OK=d\left(O;\left(SBC\right)\right)\)
\(OH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\) ; \(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{OK^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OH^2}\Rightarrow OK=\frac{SO.OH}{\sqrt{SO^2+OH^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)