Question

[Nhi Le]

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A,đáy lớn CD.Tam giác SAD đều, tam giác SAB vuông tại A.Gọi I,H,K là trung điểm AD,AB,DC.AB = AD = a,CD = 2a.Xác định và tính góc SC và mp SHI

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Hình bạn tự vẽ

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\AB\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp SI\) (1)

Do \(\Delta SAD\) đều \(\Rightarrow SI\perp AD\) (2)

(1), (2) \(\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Dễ dàng nhận ra ABKD là hình vuông

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=a\sqrt{2}\) ; \(BC=\sqrt{BK^2+CK^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow BD^2+BC^2=4a^2=CD^2\)

\(\Rightarrow\Delta DBC\) vuông cân tại B \(\Rightarrow CB\perp BD\)

Kéo dài IH và CB cắt nhau tại K

\(IH//BD\) (đường trung bình) \(\Rightarrow BC\perp IH\Rightarrow CK\perp\left(SHI\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CSK}\) là góc giữa SC và (SHI)

\(IC=\sqrt{ID^2+CD^2}=\sqrt{\left(\frac{AD}{2}\right)^2+CD^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)

\(SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến trong tam giác đều cạnh a)

\(\Rightarrow SC=\sqrt{SI^2+IC^2}=a\sqrt{5}\)

\(BK=BH.sin\widehat{KHB}=\frac{AB}{2}.\frac{IA}{IH}=\frac{AB}{2}.\frac{AB}{2\sqrt{AH^2+IA^2}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow CK=BC+BK=a\sqrt{2}+\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{5a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{CSK}=\frac{CK}{SC}=\frac{\sqrt{10}}{4}\Rightarrow\widehat{CSK}\approx52^014'\)